Functional Analysis
Integralgleichungen
Sommersemester 2015
Hauptseminar Funktionalanalysis S2B1
Dr. M. Helmers, Dr. M. Zaal
Mittwoch 14–16 Uhr, Raum 1.008
Inhalt
Integralgleichungen sind – neben Differentialgleichungen – eines der wichtigsten mathematischen Instrumente zur Untersuchung von Problemen in Naturwissenschaft und Technik; oft treten beide Arten von Gleichungen zusammen auf. Ein Beispiel dafür ist die gewöhnliche Differentialgleichung \(y'(t)=f(t,y(t))\) mit Anfangsdaten \(y(0)=\lambda\), welche sich durch Integration und Fixpunktiteration der zugehörigen Integralgleichung \[y(t) = \lambda + \int_0^t f(t,y(t)) \,\mathrm{d}t\] lösen lässt (Picard-Lindelöf). Ein anderes Beispiel ist die Umkehrung von Integraltransformationen, etwa das Auffinden einer Funktion \(u\) mit gegebener Fourier-Transformation \(\widehat u\) durch Lösen der Integralgleichung \[\int_{\mathbb{R}^n} u(y) e^{-\mathrm{i} x \cdot y} \,\mathrm{d}y = \widehat u(x).\]
Im Seminar befassen wir uns mit der mathematischen Theorie von Integralgleichungen und ihrer Anwendung auf konkrete Beispiele. Dies beinhaltet im wesentlichen
- die Klassifikation von Integralgleichungen – man beachte zum Beispiel den Unterschied zwischen variablem und festem Integrationsbereich oben;
- Lösung bzw. Existenz von Lösungen mit Hilfe verschiedener Methoden wie zum Beispiel Transformation, Approximation, Projektion oder Fredholm-Theorie;
- Anwendung auf gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen.
Schwerpunkt sind lineare Integralgleichungen, nichtlineare Probleme werden am Rande behandelt.
Organisation
Das Seminar findet mittwochs 14–16 Uhr in Raum 1.008 statt. Der vorläufige Vortragsplan ist:
| Datum | Vortragsthema | Vortragende(r) | Betreuer |
|---|---|---|---|
| 22.04. | Einführung | S. S. | M. H. |
| 06.05. | Existenz durch Fixpunkt-Iteration | T. W. | M. Z. |
| 13.05. | Kompakte selbstadjungierte Integraloperatoren | M. K. | M. H. |
| 03.06. | Fredholm-Gleichungen, Fredholm-Alternative | L. J. C. | M. H. |
| 17.06. | Fourier-Transformation | G. C. | M. Z. |
| 01.07. | Laplace-Transformation | M. M. | M. Z. |
Literatur
H. Hochstadt. Integral Equations. John Wiley & Sons, New York, 1973.
Voraussetzungen
Analysis I–III, Lineare Algebra I und II.