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Finite Elemente I

Finite Elemente I
[SECT: FinElemI]

Die Lösung  u∈V:=H1(Ω)  des schwachen Randwertproblems in [STMT: QuadMin.13] erfüllte  u∈M  und

[EQU: M]
a(v,u)=l(v)     für alle v∈M0.
Die approximative Lösung  u∈VN  des Ritz-Galerkin Ansatzes in [STMT: QuadMin.18] erfüllte  u∈MN  und
[EQU: MN]
a(v,u)=l(v)     für alle v∈M0N.
Dabei war
[EQU: def]
a(v,u)
=
 
∫
Ω
 (∇v∙(a∇u)+va0u)dLn,
l(v)
=
 
∫
Ω
 vfdLn.
Die generelle Vorgehensweise beim Finite-Element-Ansatz ist: Finite Elemente sind speziell dadurch charakterisiert, dass die Wahl des Unterraums  VN  wesentlich durch eine Zerlegung des Gebietes  Ω  bestimmt wird, siehe [STMT: 11] und die allgemeine Beschreibung davor. Wir beginnen mit der Herleitung einer Matrixschreibweise für den allgemeinen Ritz-Galerkin-Ansatz.

Den Zusammenhang solcher diskreten Formulierungen zu Differenzenapproximationen aus Abschnitt [SECT: DiffMeth] stellt die folgende Bemerkung her.

Im ersten Teil dieses Abschnittes wollen wir finite Elemente im 1D-Fall vorstellen. Dazu formulieren wir das Randwertproblem aus dem vorigen Abschnitt [SECT: QuadMin] in diesem speziellen Fall.

Wir behandeln im Folgenden zunächst Finite-Element-Approximationen in einer Raumdimension. Wie in Abschnitt [SECT: DiffMeth] sei dazu eine Diskretisierung des Intervalls  Ω=]α,β[  der folgenden Form vorgegeben:

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Diskretisierung mit variabler Schrittweite  [FIG: partition-1D]  

Die am häufigsten benutzten finite Elemente sind lineare und quadratische Elemente, die wir nun zunächst für den 1D-Fall einführen.

Ein Finite-Element-Ansatz bedeutet, dass die Unterräume  VN  vorgegeben werden. Die approximativen Lösungen  uN  in diesem Raum sind unabhängig von der Wahl der Basis in diesem Raum, aber natürlich nicht die numerisch bestimmten Koeffizienten der Darstellung von  uN . Was jedoch entscheidend ist, ist die starke Abhängigkeit der Kondition der entstehenden Matrix von der Wahl der Basis. Dazu

...............................................................

Aussagen 4.9 und 4.10 kommen später.

...............................................................

Im zweiten Teil dieses Abschnittes behandeln wir die Konstruktion finiter Elemente im 2D-Fall und geben einige 3D-Diskretisierungen an. Bei allgemeiner Raumdimension  n  ist die

Allgemeine Vorgehensweise bei Finiten Elementen:
  • Zerlege zunächst das Gebiet  Ω⊂ℝn  in endlich viele Teilgebiete  Ωk  (ähnlich wie im Beweis von Satz [NUM: QuadMin.8.2] , siehe [FIG: QuadMin.decomposition] ).
  • Betrachte auf jedem der Teilgebiete  Ωk  eine Klasse von glatten Funktionen mit endlich vielen Parametern, deren Anzahl eine feste Zahl nicht übersteigt.
  • Betrachte alle sich daraus zusammensetzenden Funktionen und beachte Übergangsbedingungen, z.B. Stetigkeit.
  • Wähle eine Basis.
  • Stelle das zugehörige Gleichungssystem auf.
  • Betrachte eine Folge solcher Gebietszerlegungen mit immer kleiner werdenden Durchmessern der Teilgebiete.
Für die Implementierung ist noch Folgendes zu beachten:
  • Alles soll mit einer möglichst kleinen Anzahl von Unterprogrammen beschreibbar sein, und zwar unabhängig von der Feinheit der Zerlegung.
  • Man betrachtet daher Zerlegungen, für die alle Teilgebiete über einem einzigen Referenzgebiet  S , z.B. einem Dreieck, parametrisiert sind, d.h. mit Diffeomorphismen  τk:S → Ωk  (siehe [FIG: reference-domain] ), die numerisch möglichst einfach auswertbar sind.

    -*- IMAGE NOT AVAILABLE -*-

    Transformation auf Referenzgebiet  [FIG: reference-domain]  

    Gegebenfalls können es auch einige wenige Referenzgebiete sein, deren Anzahl aber unabhängig von der Feinheit der Zerlegung ist.

    Anmerkung: In diesem Abschnitt werden alle Transformationen  τk  affin-linear sein.

  • Die auf das Referenzgebiet transformierten Funktionen wählt man in einem festen Unterraum, z.B. in einem Polynomraum mit gewissen Eigenschaften.

Wir beschreiben zunächst allgemein, was wir unter einer Zerlegung eines Gebietes verstehen wollen.

Es folgen die wichtigsten Beispiele von Gebietszerlegungen in zwei und drei Raumdimensionen.

Beispiele von Gebietszerlegungen   [STMT: 12]
Die Standardzerlegungen im 2D-Fall sind Dreieckszerlegungen (Triangulierungen) und Zerlegungen in Parallelogramme. Numerisch komplizierter zu handhaben sind Zerlegungen in allgemeine Vierecke. Die Standardzerlegungen im 3D-Fall sind Zerlegungen in Parallelepipede (Spatkörper) und Tetraeder. Wir werden hier voraussetzen, dass das Gebiet  Ω  solche Zerlegungen erlaubt. Im 2D-Fall bedeutet dies, dass  Ω  einen Polygon-Rand besitzt, d.h. aus Geradenstücken und Punkten besteht. Wir geben nun einige gebräuchliche Zerlegungen in drei Raumdimensionen an, und zwar speziell solche in Parallelepipede, Zylinder und Tetraeder.

Die einfachsten Elementräume bei Triangulierungen bestehen aus stetigen Funktionen, die auf jedem Simplex ein Polynom gegebenen Grades sind.

Die einfachsten Elementräume bei Zerlegungen in Parallelogramme bestehen aus stetigen Funktionen, die auf jedem Parallelogramm multilinear sind.

Sei nun  Vh  einer dieser eingeführten Elementräume. Wir gehen zurück zum endlichdimensionalen Problem auf

Mh:=M∩Vh     mit     Mh=u0h+M0h.
Gesucht war  u∈Mh , so dass
 
∫
Ω
 (∇v∙a∇u+va0u)dLn =
 
∫
Ω
 vfdLn
für alle  v∈M0h .

Bemerkung: Für die Funktionen  u∈Vh  in [STMT: 13] und [STMT: 14] gilt
u=0 auf ∂Ω     <==>     u=0 auf den Randknotenpunkten .
Für das Dirichlet-Problem ist also  M0h  der von den Basisfunktionen  φx  zu inneren Knotenpunkten  x∈P∩Ω  aufgespannte Unterraum.

Die eingeführten Lagrange'schen Basisfunktionen ergeben eine Matrixschreibweise des diskreten Problems.

H.W. Alt - 10.03.2004

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