Rankine-Hugoniot-Bedingung Rankine-Hugoniot-Bedingung
Quasilineare Gleichungen 1. Ordnung Quasilineare Gleichungen 1. Ordnung
Sachverzeichnis
© 2003-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Schocks

Wir kommen nun zum obigen speziellen Beispiel für die Burgers-Gleichung zurück und zeigen:

Proposition (Schock-Lösung)    [stmt: shock]
Betrachte die Burgers-Gleichung
∂tu+∂x
u2
2
 
 =0
mit Cauchy-Daten wie in [equ: Burgers-solution.data] mit  ul>ur , und  (t*,x*)  sei dann wie in [stmt: Burgers-solution] definiert. Dann gibt es für jedes  δ>0  genau ein  γ∈C1([t*,t*+δ[)  mit  γ(t*)=x* , so dass  u:[0,t*+δ[× ℝ →  ℝ , definiert durch [FIG: burgers-shock]

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Schocklösung für Burgers-Gleichung ( ul>ur )  [fig: burgers-shock]  

eine schwache Lösung der Burgersgleichung in  ]0,t*+δ[× ℝ  ist. Es ist

[equ: *]
γ(t)=x*+(t-t*)
ur+ul
2
 
 .
Die Kurve  t |→ (t,γ(t))  heißt Schockkurve.

Beweis. Im Bereich  t<t*  ist die angegebene Funktion  u  stetig, so dass also an den Überganslinien die Rankine-Hugoniot-Bedingung trivialerweise erfüllt ist. Daher handelt es sich in diesem Bereich um eine schwache Lösung.

Betrachte nun den Bereich  t>t* . Sei  γ  stetig differenzierbar mit  γ(t*)=x* . Die Rankine-Hugoniot-Bedingung auf  {(t,γ(t))  ; 0<t-t*<δ}  besagt

ur2
2
 
 -
ul2
2
 
 =γ′(t)(ur-ul),
d.h.
γ′(t)=
1
2
 (ul+ur).
Ist dies erfüllt, also  γ  wie in [equ: *] , so ist  u  schwache Lösung in einer Umgebung dieses Schocks.

Die zusammengesetzte Lösung  u  in [FIG: burgers-shock] ist also schwache Lösung auf  ]0,∞[× ℝ∖{(t*,x*)} . Und  u  ist beschränkt. Also ist  (t*,x*)  hebbare Singularität nach Analysis IV (siehe die Proposition am Ende des Beweises von [Analysis IV:Fundamentallösung] ).

Bemerkung (Verdünnungswelle)    [stmt: verduennung]
Betrachte das Cauchy-Problem zu
∂tu+∂xq(u)=0,       wobei   q′′>0.
Wir betrachten nun Cauchy-Daten
[equ: wave-data]
u0(y)=ul   für  y≦yl,
u0   strikt monoton auf   [yl,yr],
u0(y)=ur   für  y≧yr,
mit  ul < ur  und  yl<0<yr . Die Charakteristiken zu  y∈ ℝ  sind wie oben
γy(t)=y+tq′∘u0(y),
wobei
(q′∘u0)′=q′′∘u0·u0′≧0.
Nach [stmt: lemma] definieren sie also eine  C1 -Lösung global auf  [0,∞[× ℝ . Explizit ist
u(t,y+tq′∘u0(y))=u0(y),
wobei  y |→ q′∘u0(y)  auf  [ul,ur]  bijektiv ist als Hintereinanderschaltung der zwei bijektiven Abbildungen
[yl,yr]
→ 
[ul,ur],
    [ul,ur]
→ 
[q′(ul),q′(ur)],
y
 |→ 
u0(y),
    z
 |→ 
q′(z).
Anders geschrieben ist die Lösung  u  gegeben durch
[equ: solution]
u(t,y+tq′(z))=z       für z∈[ul,ur] und y mit u0(y)=z.  

Betrachte nun bei festem  ul ,  ur  eine Folge von Punkten  yεl,yεr → 0  mit Lösungen  uε . Dann folgt, dass  uε  gleichmäßig gegen eine Funktion  u  konvergiert, gegeben durch

[equ: limit-solution]
u(t,y+tq′(ul))=ul
      für   y≦0,
u(t,tq′(z))=z
      für   z∈[ul,ur],
u(t,y+tq′(ur))=ur
      für   y≧0.

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Verdünnungswelle ( ul<ur )  [fig: rarefaction]  

Mit  x=tq′(z)  kann die mittlere Formel auch geschrieben werden als  u(t,x)=(q′)-1(x/t)  und wir erhalten für  t>0 

[equ: rarefaction-solution]
u(t,x)=ul
      für   x≦tq′(ul) ,
u(t,x)=(q′)-1(
x
t
 )
      für   tq′(ul)≦x≦tq′(ur) ,
u(t,x)=ur
      für   x≧tq′(ur) .
Die Anfangswerte  u0  sind im Limes
[equ: cauchy]
u0(y)=
ul
      für   y<0 ,
ur
      für   y>0 .
Wir sehen insbesondere, dass die Limeslösung nicht davon abhängt, wie die Cauchy-Daten von  uε  den linken Wert  ul  mit dem rechtem Wert  ur  verbunden haben. In diesem Sinne stellt also die Limesfunktion  u  die eindeutige schwache Lösung zu den Cauchy-Daten in [equ: cauchy] dar, wobei hier  ul≦ur  in [equ: cauchy] .

Für allgemeine Werte  ul  und  ur  nennt man das Cauchy-Problem zu Daten wie in [equ: cauchy] das Riemann-Problem.

Sowohl die Schocklösung  (t,x) |→ u(t*+t,x)  für  t>0  als auch die Verdünnungswelle  (t,x) |→ u(t,x)  für  t>0  sind spezielle

Selbstähnliche Lösungen    [stmt: selbstaehnlich]
Im Allgemeinen nennt man eine Funktion  u:]0,∞[× ℝn →  ℝ  selbstähnlich, wenn
u(t,x)=a(t)v(
x
c(t)
 )
mit gewissen Funktionen  a,c,v . Wir betrachten selbstähnliche Lösungen von
∂tu+ div q(u)=0       in  ]0,∞[× ℝn
mit gegebenem  q∈C0( ℝ; ℝn)  der Gestalt
u(t,x)=v(
x
t
 ).
Es gilt: Sei  v: ℝn →  ℝ  messbar und lokal beschränkt und  u  durch diese Identität definiert. Dann ist  u  schwache Lösung obiger Differentialgleichung genau dann, wenn  y |→ v(y)  schwache Lösung ist von
div (q(v)-vy)+nv=0.
In Bereichen, wo  v  stetig differenzierbar ist, bedeutet diese Differentialgleichung, dass
(q′(v)-y))•∇v=0.

Beweis. Betrachte die Parametertransformation  (t,x) |→ (t,y):=(t,x/t) . Im glatten Fall gilt:
0=∂tu+ div xq(u)=-
x
 
t2
 •∇v+
1
t
 div yq(v),
also
q′(v)•∇v= div yq(v)=
x
t
 •∇v=y•∇v.
Für schwache Lösungen macht diese Rechnung keinen Sinn. Also arbeiten wir mit dem schwachen Lösungsbegriff
∫ ∫ (∂tζu+∇ζ•q(u))(t,x)dxdt=0
für alle  ζ∈C0∞(]0,∞[× ℝn) . Setze
ζ(t,x)=φ(t)η(
x
t
 ),     φ∈C0∞(]0,∞[), η∈C0∞( ℝn).
Dann ergibt sich für obiges Integral
0=∫ ∫ ( (φ•η-
φ
t
 y •∇η)v+
φ
t
 ∇η•q(v) )(t,y)tndydt.
Wegen
∫ ∫ tnφ•(t)(ηv)(y)dydt =-∫ ∫ φ(t)tn-1n(ηv)(y)dydt
ist also
0=∫ tn-1φ(t)( ∫ (-nηv-(y•∇η)v+∇η•q(v))(y)dy )dt.
Da dies für alle  φ  gilt, muss das innere Integral über  y  für alle  η  verschwinden. Also haben wir eine schwache Lösung angegeben.

Betrachte nun für den Fall  n=1  eine messbare, stückweise glatte Lösung. Im glatten Bereich gilt

(q′(v(y))-y)v′(y)=0.
Dort wo  v′(y)≠0  muss  q′(v(y))=y  sein. An Sprungstellen  y  muss die zur schwachen Differentialgleichung von  v  gehörende Sprungbedingung erfüllt sein. Diese ist
q(vr)-yvr=q(vl)-yvl,
d.h.
q(vr)-q(vl)=y(vr-vl).
Für selbstähnliche Lösungen der Burgers-Gleichung gilt also im glatten Bereich (wegen  q′(z)=z )
  entweder  
v(y)=y
  oder  
v(y)=const.
An den Sprungstellen ergibt sich die Bedingung
vl+vr
2
 
 =y
Daraus lässt sich leicht ableiten:

Es gilt: Für die Burgers-Gleichung sind alle stückweise glatten, messbaren, global beschränkten selbstähnlichen Lösungen gegeben durch

Die ersten beiden Lösungsklassen haben eine physikalische Bedeutung. Sie gibt es analog auch für Systeme von Erhaltungsgleichungen, z.B. für das Euler-System, siehe [Analysis III:Euler-System] . Der letzten Lösungsklasse ist keine physikalische Bedeutung zuzumessen. Dies liegt daran, dass diese Lösungen nicht das Entropieprinzip erfüllen. Dies kann im Rahmen dieser Vorlesung nicht dargestellt werden. Es wird auf die Vorlesung PDG III im WS 2003/04 verwiesen.

Version 1.4
H.W. Alt - 12.11.2007

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