Beispiel (Burgers-Gleichung) [stmt: Burgers-solution]
Betrachte die Burgers-Gleichung
mit Cauchy-Daten
|
| u0(y)=ul für y<yl , u0(y)=ur für y>yr , |
|
|
wobei yl<yr .
Auf dem Intervall [yl,yr] soll u0 monoton von ul in ur
übergehen.
Der einfachste Fall ist
| |
|
|
u0(y)=
|
|
| |
|
| |
für y=(1-r)yl+ryr, 0≦r≦1,
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
obwohl diese Cauchy-Daten nicht differenzierbar sind.
Dann sind die Charakteristiken durch (0,y)
(für y≠yl,yr ) gegeben durch:
|
| |
| |
|
t |→ (t,y+t((1-r)ul+rur))
|
| |
für y=(1-r)yl+ryr, 0≦r≦1,
|
|
|
| |
| |
|
|
also verlaufen alle Charakteristiken für y<yl parallel,
ebenso alle für y>yr .
| | Anfangswerte für die Burgers-Gleichung | [fig: burgers-init]
|
Wir betrachten nun den Fall ul>ur ,
d.h. die Bedingung für globale Existenz in
[stmt: convex-case]
ist nicht erfüllt.
In der Tat, je zwei Charakteristiken für y<yl und y>yr
schneiden sich zu einem Zeitpunkt größer als t* ,
wobei (t*,x*) der Schnittpunkt der beiden Charakteristiken
im Grenzfall y=yl und y=yr ist, gegeben durch
also
Die Charakteristiken durch (0,y) mit yl<y<yr sind
|
|
t |→ (t,y+tu0(y))
=(1-r)
| |
+r
| | ,
|
|
|
welche sich alle genau in (t*,x*) schneiden.
Hinweis:
Wenn die Cauchy-Daten irgendwie, aber stetig differenzierbar
vom linken Wert ul zum rechten Wert ur übergehen,
ist die Gesamtheit aller Schnittpunkte vollkommen unübersichtlich.
Wenn bei diesem Übergang eine sehr große negative Steigung auftritt,
gibt die Charakteristiken-Methode
die Lösung der partiellen Differentialgleichung,
wie wir in
[stmt: lemma]
gezeigt haben,
nur auf einem sehr kleinen Zeitintervall.
|
