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Nichtlineare Gleichungen 1. Ordnung Nichtlineare Gleichungen 1. Ordnung
Nichtlineare Gleichungen 1. Ordnung Sachverzeichnis
© 2003-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University of Bonn, Germany

Quasilineare Gleichungen 1. Ordnung
[sect: Quasi]

Ein quasilineares System erster Ordnung auf einer offenen Menge  Ω⊂ ℝn  hat nach [stmt: Intro.def] die Gestalt

n
∑
i=1
 Ai(x,u(x))∂iu(x)=b(x,u(x))       für   x∈Ω.
für Abbildungen  u:Ω →  ℝN . Dabei sind  Ai∈C0(Ω× ℝN; ℝM×N)  mit  (A1,...,An)≠0  und  b∈C0(Ω× ℝN; ℝM)  gegeben. Wir teilen die Probleme in folgende Klassen ein:

Wir betrachten daher in diesem Abschnitt den Fall  M=N=1 : Gesucht ist  u:Ω →  ℝ  mit

n
∑
i=1
 ai(x,u(x))∂iu(x)=b(x,u(x))       für   x∈Ω.
Dabei sind  ai,b∈C0(Ω× ℝ; ℝ)  gegebene Funktionen. Die Vektorschreibweise für diese Differentialgleichung ist
a(x,u(x))•∇u(x)=b(x,u(x))       für   x∈Ω
und die Kurzschreibweise
[equ: pde]
a(·,u)•∇u = b(·,u)       in  Ω.

Zunächst folgende Betrachtung für einen Spezialfall:

Diese speziellen Überlegungen führen uns im allgemeinen Fall von [equ: pde] auf die Methode der Charakteristiken. Wie wir sehen werden, lassen sich mit dieser Methode lokale Lösungen der Differentialgleichung konstruieren. Zunächst jedoch eine Herleitung dieser Methode:

Wir formulieren nun eine Aussage, die zeigt, dass  C1 -Lösungen der Differentialgleichung [equ: pde] notwendigerweise die gerade hergeleiteten charakteristischen Gleichungen (siehe [equ: char-meth.ode] )

[equ: ode]
ξ′
=a(ξ,z),     
ξ(0)
=y,
z′
=b(ξ,z),     
z(0)
=u0(y).
erfüllen müssen. Wir geben einige Spezialfälle für die Differentialgleichung [equ: pde] an. Umgekehrt wollen wir nun mit Hilfe der charakteristischen Gleichungen [equ: ode] eine  C1 -Lösung der Differentialgleichung [equ: pde] konstruieren. Dazu betrachten wir nun eine Schar von charakteristischen Gleichungen mit Parameter  y , wobei wir  y  auf einer Fläche  Γ  laufen lassen. Da die charakteristische Kurven  1 -dimensional sind, wählen wir  Γ  als  (n-1) -dimensionale Fläche.
Ziel.  Die Gesamtheit der charakteristischen Kurven, die von Punkten auf  Γ  ausgehen, sollen eine offene Menge im   ℝn  bilden.
Nun ist für Lösungen  (ξ,z)  der charakteristischen Gleichungen
ξ′(0)=a(ξ,z)(0)=a(y,u0(y)).
Wir möchten also, dass dieser Tangentialvektor der in  y  startenden charakteristischen Kurven nicht im Tangentialraum von  Γ  im Punkte  y  liegt. Ausformuliert ergibt dies die folgende Definition:

Nichtcharakteristische Flächen    [stmt: noncharacteristic-surface]
Betrachte die Differentialgleichung [equ: *.pde] in einer offenen Menge  Ω⊂ ℝn . Sei  Γ⊂Ω  eine  n-1 -dimensionale  C1 -Fläche und  u0∈C1(Γ; ℝ) . Dann heißt  (Γ,u0)  nichtcharakteristisch, falls für alle  y∈Γ  gilt
a(y,u0(y))∉Ty(Γ),
oder äquivalent
span({a(y,u0(y))}∪Ty(Γ)) = ℝn.
Weiter heißt  Γ  nichtcharakteristische Fläche, falls  (Γ,u0)  nichtcharakteristisch für alle Funktionen  u0 : Γ →  ℝ  ist.
Wir geben nun einige Beispiele von nichtcharakteristischen Flächen an.

Wir kommen nun zum zentralen Satz dieses Abschnittes, dem lokalen Existenzsatz für unsere Differentialgleichung [equ: pde]

a(·,u)•∇u=b(·,u) .
Der Beweis basiert auf der Charakteristikenmethode, wobei Werte auf einer Hyperfläche vorgeschrieben werden.
Definition.  Das Problem, zu gegebenen Werten  u0  auf einer Hyperfläche  Γ⊂Ω  eine Lösung  u  mit  u=u0  auf  Γ  zu finden, heißt Cauchy-Problem.

Da wir also die charakteristischen Gleichungen mit Parameter  y∈Γ  zu lösen haben, benötigen wir als Grundlage die entsprechende Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Daher folgender Satz:

Satz (Lokale Existenz für das Cauchy-Problem)    [stmt: Cauchy]
In [equ: *.pde] seien  ai,b∈C2(Ω× ℝ; ℝ) . Weiter sei  Γ⊂Ω  eine  C1 -Hyperfläche,  u0∈C1(Γ; ℝ) , so dass  (Γ, u0)  nichtcharakteristisch ist (siehe [stmt: noncharacteristic-surface] ). Dann existiert eine offene Menge  Ω0  mit  Γ⊂Ω0⊂Ω , so dass genau eine Lösung  u∈C1(Ω0; ℝ)  des Cauchy-Problems
[equ: pde]
a(·,u)•∇u
= b(·,u)
      in  Ω0 ,
u
= u0
      auf  Γ
existiert.

Bemerkung: Diese Lösung erhält man mit der Charakteristiken-Methode: Für  y∈Γ  existiert eine Lösung  (ξy,zy)  der charakteristischen Gleichungen

ξy′
= a(ξy,zy),
    ξy(0)
= y ,
zy′
= b(ξy,zy),
    zy(0)
= u0(y) ,
auf einem Intervall  Iy  mit  ]-εy,εy[⊂Iy , wobei  εy>0  so gewählt werden können, dass  y |→ εy  gleichmäßig positiv auf kompakten Teilmengen von  y  ist. Es gilt:
(s,y) |→ ξy(s)       (auf Teilmengen von ℝ×Γ definiert)  
ist in jedem Punkte von  {0}×Γ  ein lokaler Diffeomorphismus und die Lösung der partiellen Differentialgleichung [equ: pde] ist gegeben durch
u(ξy(s))=zy(s) .

Zum Schluss dieses Abschnittes geben wir noch Anwendungsbeispiele an. Dabei interessiert uns insbesondere, wie weit sich die lokalen Lösungen aus dem Existenzsatz [stmt: Cauchy] fortsetzen lassen. Es stellt sich heraus, dass bei dieser Fortsetzung Singularitäten entstehen können. Diese Singularitäten haben für Erhaltungsgleichungen eine äußerst wichtige physikalische Bedeutung. Es können Schocks auftreten, wie man sie zum Beispiel im Alltag vom Überschallknall kennt. Wir werden dies am einfachsten Modell der Burgers-Gleichung studieren.

Im Grunde genommen führt dies zu der Einsicht, dass man für Differentialgleichungen erster Ordnung mathematisch gezwungen ist, zu einem Begriff der "schwachen Lösung" überzugehen, wie wir das schon, sozusagen exemplarisch, in der Analysis III (siehe [Analysis III:Schwache Lösung] ) für die Divergenzgleichung kennengelernt haben.

Version 1.4
H.W. Alt - 12.11.2007

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