Beweis des GAUSS'schen Satzes Beweis des GAUSS'schen Satzes
Partielle Integration im  Rn  Partielle Integration im  Rn 
GREEN'sche Formeln GREEN'sche Formeln
GREEN'sche Formeln Sachverzeichnis
© 2001-2008 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Beispiele zur partiellen Integration

Wir benutzen We shall use the following notation.
Definition: Ist  Ω⊂Rn  offen und beschränkt, so ist für  k∈N 
Ck(clos(Ω);Y) := {
f: clos(Ω) → Y;   f ist in Ω k-mal stetig differenzierbar und
alle partiellen Ableitungen der Ordnung ≦k
haben eine stetige Fortsetzung auf clos(Ω) }.
Dabei ist  Y  allgemein ein BANACHraum, für die Zwecke dieser Vorlesung reicht es, denn Fall  Y=Rl  zu betrachten.

Sei  u:Ω → Y   k -mal stetig differenzierbar. Für Multiindices  α=(α1,...,αn)  mit Ordnung  |α|=∑ i=1nαi≦k  (siehe definition:3-14) sei

∂αu := ∂1α1...∂nαn u .
Dabei ist
∂ilu :=


∂i...∂i
l-mal
u für l∈N,     ∂i0u := u .

Beispiele zur partiellen Integration    [sect:6-8]
Im Folgenden sei  Ω⊂Rn  ein beschränktes GAUSS-Gebiet (siehe definition:6-7), sowie der Einfachheit halber alle auftretenden Funktionen aus  C1(clos(Ω);Rn) .
  • [sect:6-8-(1)] Für  f ∈C1(clos(Ω);R) ,  ϕ∈C1(clos(Ω);Rn)  gilt:
     
    ∫
    ∂Ω
    		 ϕf•νΩ dHn-1 =
     
    ∫
    Ω
    		 ϕ div (f)   dLn +
     
    ∫
    Ω
    		 ∇ϕ•f   dLn
  • [sect:6-8-(2)] Für  u,v ∈C1(clos(Ω))  und  i∈{1,...,n}  gilt:
     
    ∫
    Ω
    		 u ∂i v dLn =
     
    ∫
    ∂Ω
    		 uv νΩ •ei dHn-1 -
     
    ∫
    Ω
    		 (∂i u) v dLn .
    Speziell: Ist  u=0  auf  ∂Ω  oder  v=0  auf  ∂Ω , dann ist
     
    ∫
    Ω
    		 u∂iv dLn = -
     
    ∫
    Ω
    		 ∂iu v dLn .
  • [sect:6-8-(3)] Für  f∈C1(clos(Ω);Y) ,  Y=Rl ,  i∈{1,...,n}  gilt:
     
    ∫
    Ω
    		 ∂i f dLn =
     
    ∫
    ∂Ω
    		 (νΩ•ei) f dHn-1 .
  • [sect:6-8-(4)] Seien  u,v∈Ck(clos(Ω))  mit  k≧1 . Dann gilt: Ist  ∂αv=0  auf  ∂Ω  für alle Multiindices  α  der Ordnung  |α|≦k-1 , so ist
     
    ∫
    Ω
    		 u∂αv dLn = (-1)|α|
     
    ∫
    Ω
    		 ∂αu v dLn .

Beweis sect:6-8-(1).   div (ϕf) = ϕ( div (f)) + (∇ϕ) f , wende dann satz:6-7 an.
Beweis sect:6-8-(2). Diese Aussage folgt direkt aus sect:6-8-(1) mit  ϕ= u ,  f = v ei . Dann gilt:   div (f) = ∂i v ,  ∇ϕ•f = (∇u •ei) v = (∂i u) v .
Beweis sect:6-8-(3). Wende sect:6-8-(2) an auf  u=1 ,  v  eine Komponente von  f .

Beweis sect:6-8-(4). Führe den Beweis induktiv nach  |α| . Ist  |α|>0 , so gibt es ein  i  mit  αi>0 . Bezeichnet  ei  den  i -ten Einheitsvektor, so gilt deshalb  α=ei+β  für einen Multiindex  β  mit  |β|=|α|-1 . Ferner ist
∂αv = ∂i∂βv = ∂β(∂iv)
und  ∂βv=0  auf  ∂Ω . Mit sect:6-8-(2) und der Induktionsvoraussetzung, angewendet auf  ∂βv , folgt
 
∫
Ω
 u·∂αv dLn
=
 
∫
Ω
 u·∂i(∂βv) dLn
=
-
 
∫
Ω
 ∂iu·∂βv dLn
=
-(-1)|β|
 
∫
Ω
 ∂β(∂iu)·v dLn
=
(-1)|α|
 
∫
Ω
 ∂αu·v dLn .

Version 1.8
H.W. Alt - 24.11.2008

Beweis des GAUSS'schen Satzes Beweis des GAUSS'schen Satzes
Partielle Integration im  Rn  Partielle Integration im  Rn 
GREEN'sche Formeln GREEN'sche Formeln
GREEN'sche Formeln Sachverzeichnis
© 2001-2008 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany