Beweis.
Nach Satz satz:5-4 gilt: U∩∂Ω ist
C1 -Graph, falls U geeignet gewählt wird. D. h. es gibt
D⊂Rn-1 offen und zusammenhängend und g:D → R
stetig differenzierbar (siehe Abbildung fig:c1-rand-1), so dass
| | [fig:c1-rand-1] |
Ohne Einschränkung sei
U={(y,z); y∈D,|z-g(y)|<δ} mit δ>0 .
Dies lässt sich durch geignetes Einschränken von D und U erreichen
(siehe Abbildung fig:c1-rand-2).
| | [fig:c1-rand-2] |
Da nach Voraussetzung
U∩∂Ω=U∩∂clos(Ω) ist, gilt
entweder:
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U∩Ω={(y,z); y∈D,0<z-g(y)<δ}
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oder:
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U∩Ω={(y,z); y∈D,0>z-g(y)>-δ}.
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Wir betrachten im Folgenden den zweiten Fall
(siehe Abbildung fig:c1-rand-3),
der erste Fall wird analog behandelt. Für
x=(y,g(y))=:γ(y) ist dann nach sect:tangentialraum
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Tx(∂Ω)=span{(ej,∂jg(y)); j=1,...,n-1},
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und es lässt sich leicht zeigen, dass
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Tx(Ω)={v+(0,z); v∈Tx(∂Ω), z<0}.
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| | [fig:c1-rand-3] |
Dann muss νΩ(x) der auf Tx(∂Ω) senkrecht
stehende Einheitsvektor sein, der "nach oben" zeigt, d. h. in
Richtung mit positiver n -ter Komponente. Dies ist der Vektor
denn (-∇g(y),1)•(ej,∂jg(y))=-∇g(y)•ej+∂jg(y)=0 und νΩ(x)•en>0 .
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