Motivation Motivation
Partielle Integration im  Rn  Partielle Integration im  Rn 
Definition eines  C1 -Randes Definition eines  C1 -Randes
Definition eines  C1 -Randes Sachverzeichnis
© 2001-2008 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Der innere Fall

Satz    [satz:6-1]
Sei  Ω⊂Rn  offen,  f:Ω → Y ,  Y=Rl , stetig differenzierbar mit kompaktem Träger in  Ω  (Notation:  f ∈C01(Ω;Y) ). Dann gilt für  i=1, ..., n :
 
∫
Ω
 ∂i f(x) dx = 0 .
Dies ist äquivalent dazu, dass für jedes Vektorfeld  f∈C01(Ω;Rn) 
 
∫
Ω
 div (f) dLn = 0 .

Beweis. Setze  f  durch  0  außerhalb von  Ω  fort. Dann wähle einen Quader  Q=╳ i=1n ]ai,bi[  mit  supp(f) ⊂Q . Dann folgt wie in der Motivation (mit den dortigen Bezeichnungen) mit dem Satz von FUBINI:
 
∫
Ω
 ∂i f(x) dx
=
 
∫
Q
 ∂i f(x) dx
=
 
 
∫
Qi'


(
bi
 
∫
ai
 
 ∂i f(x1,...,xi-1,xi,xi+1,...,xn) dxi )
=0
 dx' ,
da   f(x1,...,xi-1,ai,xi+1,...,xn) = f(x1,...,xi-1,bi,xi+1,...,xn) = 0  , denn   f | ∂Q = 0 .

Version 1.8
H.W. Alt - 24.11.2008

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