Flächen im Rⁿ

Titelseite

Differentialgleichungen in Divergenzform

Sachverzeichnis

Partielle Integration im Rⁿ
[chap:PartialIntegration]

Ziel dieses Abschnitts ist es, eine n -dimensionale Version vom "Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung" (auch "Fundamentalsatz der Analysis" genannt)

∫

f′(x) dx = f(b) - f(a)

aus der Analysis I zu erstellen.

Motivation

Wir haben also gesehen, dass der Ableitung im eindimensionalen Fall in mehreren Raumdimensionen der "Divergenzoperator" entspricht (dieser wurde auch schon in Analysis II eingeführt). Die zugehörige Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung wird dann der GAUSS'sche Satz (englisch: "Divergence Theorem") sein.

Definition (Divergenz)

Für ein stetig differenzierbares Vektorfeld q: Rⁿ → Rⁿ heißt

div q(x) :=

∑

i=1

∂_i q_i(x) (Andere übliche Bezeichnung: ∇•q(x))

die Divergenz von q im Punkte x und wir nennen div den Divergenzoperator. Für jede orthonormale Basis {ẽ₁, ..., ẽ_n} gilt:

div q(x) =

∑

i=1

e_i•D q(x)(e_i) =

∑

i=1

ẽ_i •Dq(x)(ẽ_i) .

Hierbei bezeichnet {e₁, ..., e_n} die kanonische Basis des Rⁿ .

Beweis. Mit der Darstellung ẽ_i = ∑ _k=1ⁿ a_ik e_k gilt:

∑

i=1

ẽ_i•Dq(x)(ẽ_j) =

∑

k,l = 1

(

∑

a_ik a_il)e_k•Dq(x)(e_l) =

∑

k,l = 1

δ_kl e_k•Dq(x)(e_l),

da die Matrix (a_ik)_ik orthogonal ist.

Der Beweis des GAUSS'schen Satzes (Satz satz:6-7) wird auf zwei wesentliche Fälle zurückgeführt. Der erste ist der lokale Fall im Inneren (siehe Satz satz:6-1), d. h. der Fall, dass das betrachtete Vektorfeld kompakten Träger in Ω hat. Der zweite ist der lokale Fall am glatten Rand (siehe Satz satz:6-3), bei dem das betrachtete Vektorfeld den Träger in einer Umgebung eines glatten Randpunktes (siehe Definition definition:6-2) hat.

Der innere Fall

Definition eines C¹ -Randes

Der lokale Fall am glatten Rand

Um im Beweis des allgemeinen GAUSS' schen Satzes auf die lokalen Situationen in satz:6-1 und satz:6-3 zurückgreifen zu können, müssen wir C¹ -Funktionen in lokale C¹ -Funktionen zerlegen, d. h. in C¹ -Funktionen mit lokalem Träger.

Partition der Eins

Wir wären nun in der Lage, den Satz von GAUSS für Gebiete mit C¹ -Rand zu beweisen, d. h. Gebiete Ω , die einen C¹ -Rand in jedem Punkte x₀∈∂Ω haben (siehe Definition definition:6-2). Jedoch erfordern die meisten Anwendungen eine größere Klasse von Gebieten, die z. B. auch Quader enthält. Dies sind Gebiete, bei denen der nicht C¹ -Anteil des Randes (bei Quadern im R³ die Kanten und Ecken des Quaders) niederdimensional ist. Dazu definieren wir:

m -dimensionale Nullmengen

Der zentrale Satz dieses Kapitels ist der folgende "GAUSS'sche Satz" (im Englischen auch "Divergence theorem" oder "Theorem of GREEN-OSTROGRADSKI-GAUSS" genannt wird):

Satz von GAUSS [satz:6-7]

Sei Ω⊂Rⁿ und f: clos(Ω) → Rⁿ mit:

[satz:6-7-(1)] Ω ist ein beschränktes GAUSSgebiet (siehe Definition unten).

[satz:6-7-(2)] f ∈C⁰(clos(Ω);Rⁿ) ∩C¹(Ω;Rⁿ) mit div (f) ∈L¹(Ω) .

Dann gilt:

∫

div (f) dLⁿ =

∫

∂Ω

f •ν_Ω dH^n-1 .

Bemerkung 1: Dabei ist das Integral über ∂Ω definiert als das Flächenintegral über ∂Ω∖A , wenn A die (n-1) -dimensionale Nullmenge aus der Definition ist. (Diese Definition des Integrals ist konsistent mit definition:6-5-(2).)

Bemerkung 2: Voraussetzung satz:6-7-(1) ist z. B. für Quader Ω erfüllt. Voraussetzung satz:6-7-(2) ist z. B. erfüllt, wenn f∈C¹(clos(Ω);Rⁿ) , denn Ω ist als beschränkt vorausgesetzt.

Definition (GAUSS-Gebiet) [definition:6-7]

Wir nennen eine Menge Ω⊂Rⁿ ein GAUSS-Gebiet , wenn Ω offen ist und ∂Ω außer einer abgeschlossenen (n-1) -dimensionalen Nullmenge A aus einem C¹ -Rand besteht, und wenn weiter ∂Ω∖A lokal endlichen Flächeninhalt hat, also H^n-1((∂Ω∖A)∩B_R(0))<∞ für alle R>0 .

Ausblick: Der GAUSS'sche Satz kann auch verstanden werden als die Identität

div ( Χ_Ω f) = Χ_Ω div f + f ∇ Χ_Ω

im Distributionssinne (der Begriff "Distribution" wird in Analysis IV eingeführt, siehe [Analysis IV:Distribution] ). Es handelt sich dabei also um eine Produktformel im ganzen Raum Rⁿ .

Außerdem arbeitet man in der HILBERTraumtheorie partieller Differentialgleichungen (siehe Vorlesungsskript Partielle Differentialgleichungen I, WS 2002/03) mit der Klasse der LIPSCHITZ-Gebiete, einer anderen Klasse als die der GAUSS-Gebiete. Auch für LIPSCHITZ-Gebiete gibt es eine Version des GAUSS'schen Satzes.

Beweis des GAUSS'schen Satzes

Einfache Anwendungen des GAUSS'schen Satzes ergeben Formeln, welche die partielle Integration im Rⁿ betreffen. Für n=1 und Ω=]a,b[⊂R lautet die Formel der partiellen Integration (aus Analysis I)