Berechnung von Integralen im Rⁿ

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Partielle Integration im Rⁿ

Sachverzeichnis

Flächen im Rⁿ
[chap:Surfaces]

In diesem Kapitel führen wir den Begriff einer Fläche im EUKLIDischen Raum ein und definieren auf diesen Flächen ein Oberflächenmaß mit Hilfe lokaler Parametrisierungen. Dies erlaubt es uns, die Konstruktion des LEBESGUE-Integrals aus Kapitel chap:LebesgueIntegral anzuwenden. Damit erhalten wir ein Integral über Flächen, für das alle allgemeinen Sätzen der LEBESGUE-Theorie gelten (z.B. die LEBESGUE'schen Konvergenzsätze satz:lebesgue und satz:special-lebesgue). Wir geben dann noch einige wesentliche Beispiele zur konkreten Berechnung von Flächenintegralen an.

Einleitung

Wir beginnen mit der Definition von Flächen im Rⁿ .

Definition ( C^k -Fläche) [definition:5-1]

Seien 0≦m≦n und k≧1 ganze Zahlen. Eine Teilmenge M⊂Rⁿ heißt m -dimensionales C^k -Flächenstück (oder m -dimensionale lokale C^k -Fläche ), wenn es eine offene und zusammenhängende Menge D⊂R^m , sowie eine bijektive Abbildung γ:D → M gibt, so dass gilt:

[definition:5-1-(i)] γ ist k -mal stetig differenzierbar,

[definition:5-1-(ii)] γ^-1 ist stetig,

[definition:5-1-(iii)] Dγ(y):R^m → Rⁿ ist injektiv für alle y∈D .

Weiter heißt M⊂Rⁿ m -dimensionale C^k -Fläche , wenn M lokal ein m -dimensionales Flächenstück ist, d. h. wenn es für alle x₀∈M ein U⊂Rⁿ offen mit x₀∈U gibt, so dass U∩M ein m -dimensionales Flächenstück ist.

Spezielle Bezeichnungen: Ein 0 -dimensionales Flächenstück ist ein Punkt, eine 1 -dimensionale Fläche nennen wir Kurve. Eine (n-1) -dimensionale Fläche nennen wir Hyperfläche. Die n -dimensionalen Flächen (bzw. Flächenstücke) sind genau die offenen Mengen (bzw. die offenen zusammenhängenden Mengen) im Rⁿ , was aus definition:5-1-(i) und definition:5-1-(iii) folgt, wenn man den Satz von der Inversen Abbildung aus Analysis II anwendet.

Bemerkung: Oben bezeichnet die lineare Abbildung Dγ(y):R^m → Rⁿ die Ableitung von γ im Punkt y . Aus definition:5-1-(iii) folgt, dass Dγ(y)(R^m) ein m -dimensionaler Unterraum des Rⁿ ist.

Bemerkung: In der obigen Definition wurde vorausgesetzt, dass die Menge D zusammenhängend ist. Da D eine offene Menge ist, ist dies äquivalent dazu, dass D wegzusammenhängend ist, d. h. je zwei Punkte in D lassen sich durch eine stetige Kurve in D miteinander verbinden. (Mittels Faltung folgt dann auch, dass man mit unendlich oft differenzierbaren Kurven verbinden kann.)

Beispiele zur Definition

In der Natur, d. h. für n=3 , treten Flächen in vielfältiger Form auf. Zum Beispiel treten 2 -dimensionale Flächen als Begrenzung zwischen zwei Medien auf, etwa die Oberfläche eines Festkörpern oder eine Wasseroberfläche, wobei das zweite Medium ein Gas ist. Von besonderem Interesse sind auch Oberflächen zwischen einem Festkörper und einer Flüssigkeit oder zwischen zwei verschiedenen Flüssigkeiten, wie etwa Wasser und Öl. Weiter können 2 -dimensionale Flächen aber auch als eigenes Medium auftreten, etwa ein Papier oder eine dünne Membran, wobei das umgebende Medium ein Gas ist. Beispiele von 1 -dimensionalen Flächen sind etwa Fasern oder dünne Drähte.

Dabei wird immer vorausgesetzt, dass man die physikalische Situation in einer makroskopischen Skala betrachten kann, für die die Dicke dieser Flächen vernachlässigt wird. Denn auf der Molekülebene kann man niemals von einer Fläche sprechen.

Betrachtet man die Zeitentwicklung solcher Flächen, so kann man sie als 3 -dimensionale bzw. 2 -dimensionale Flächen im R⁴=R×R³ , d. h. in Zeit und Raum, auffassen.

So wie die Ableitung einer Abbildung in einem Punkte die lineare Approximation dieser Abildung darstellt, so definieren wir nun die lineare Approximation einer Fläche in einem Punkte. Diese Approximation nennen wir den "Tangentialraum" der Fläche in diesem Punkt. Für allgemeine Mengen muss diese Menge kein Unterraum sein, sie ist dann nur ein Kegel, und wir nennen diese Menge dann den "Tangentialkegel". Die Definition wird nicht nur in diesem Kapitel, sondern auch in den Kapiteln chap:DifferentialEquations und chap:SurfaceIntegration eine wichtige Rolle spielen.

Tangentialraum [sect:tangentialraum]

Sei M ⊂Rⁿ , x₀ ∈M . Dann heißt

T_x₀(M) := {v ∈Rⁿ ;

∃ (x_k)_{k ∈N} ∃ (r_k)_{k ∈N} : x_k∈M, r_k>0 ,

x_k → x₀,

x_k - x₀

r_k

→ v für k → ∞}

der Tangentialkegel von M im Punkte x₀ . Die Menge T_x₀(M) ist ein Kegel mit Spitze 0 , d. h.

v ∈T_x₀(M), r ≧0 ==> rv ∈T_x₀(M) .

Falls T_x₀(M) ein Unterraum des Rⁿ ist, so heißt er Tangentialraum von M im Punkte x₀ .

Darstellung des Tangentialraums

Wir hatten in Definition definition:5-1 Flächen mittels lokaler Parametrisierungen definiert. Der folgende Satz ergibt drei weitere mögliche Definitionen, mittels Graphen, Nullstellenmengen und Diffeomorphismen.

Satz (Darstellung von Flächen) [satz:5-4]

Sei M ⊂Rⁿ und x₀ ∈M . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

[satz:5-4-(i)] Darstellung mittels Parametrisierung. Es gibt eine offene Menge U ⊂Rⁿ mit x₀ ∈U , so dass U ∩M ein m -dimensionales C^k -Flächenstück ist.

[satz:5-4-(ii)] Darstellung als Graph. Es gibt eine offene Menge U ⊂Rⁿ mit x₀ ∈U , so dass U ∩M ein m -dimensionaler C^k -Graph ist, d. h.:

Es gibt ein D ⊂R^m offen und zusammenhängend, eine orthogonale Transformation Q des Rⁿ und ein k -mal stetig differenzierbares g: D → R^n-m , so dass

{(y,g(y)) ; y ∈D }= {Qx ; x ∈U ∩M }.

Dabei ist (y,g(y))=(y₁,...,y_m,g₁(y),...,g_n-m(y)) .

Bemerkung 1: Q kann als Permutation der Standard-Basisvektoren gewählt werden. Dies bedeutet, dass es i₁,...,i_n∈N gibt mit {i₁,...,i_n}={1,...,n} , so dass

U ∩M = {

∑

k=1

y_k e_{i_k} +

∑

k=m+1

g_k-m(y) e_{i_k} ; y = (y₁,...,y_m) ∈D },

wobei e_j , j=1,...,n , die kanonischen Einheitsvektoren des Rⁿ sind.

Bemerkung 2: Q kann so gewählt werden, dass gilt: Q(T_x₀(M)) = {(y,0) ∈Rⁿ ; y ∈R^m } . Dies bedeutet, dass es eine Orthonormalbasis {e₁,...,e_n} des Rⁿ gibt, so dass

U ∩M = {

∑

k=1

y_k e_k +

∑

k=m+1

g_k-m(y) e_k ; y = (y₁,...,y_m) ∈D }.

[satz:5-4-(iii)] Darstellung als Nullstellenmenge. Es gibt eine offene Menge U ⊂Rⁿ mit x₀ ∈U , so dass U ∩M eine m -dimensionale C^k -Nullstellenmenge ist, d. h.:
Es gibt eine k -mal stetig differenzierbare Abbildung ϕ: U → R^n-m , so dass Dϕ(x): Rⁿ → R^n-m surjektiv ist für alle x ∈U∩M , und so dass

U∩M = {x ∈U ; ϕ(x) = 0} .

[satz:5-4-(iv)] Darstellung durch Diffeomorphismus. Es gibt eine offene Menge U ⊂Rⁿ mit x₀ ∈U , so dass U∩M C^k -diffeomorph zu einer relativ offenen Menge von R^m ×{0} ist, d. h.:
Es gibt ein offenes und zusammenhängendes V⊂Rⁿ mit 0∈V und einen C^k -Diffeomorphismus τ:V → U , so dass

U∩M = {τ(y,0) ; y∈R^m, (y,0)∈V} .

Dabei ist (y,0)=(y₁,...,y_m,0,...,0) .

Beweis der Äquivalenzen

Folgerung

Wir wollen nun ein Flächenmaß für Teilmengen E einer m -dimensionaler Fläche M definieren. Dazu zunächst:

Maß auf affinen Unterräumen

HAUSDORFF-Maß auf C¹ -Flächen [sect:5-7]

Sei M eine m -dimensionale C¹ -Fläche. Eine Menge E⊂M heißt Flächenstückmenge (entsprechend der Quadermenge für das LEBESGUE-Maß, siehe sect:1-2-(iii)), wenn E eine BOREL-Menge des Rⁿ ist und clos(E) kompakte Teilmenge von γ(D) für eine Parametrisierung γ eines Flächenstücks von M . Dann sei, falls m≧1 , das HAUSDORFF-Maß von E definiert durch

H^m(E):=

∫

Χ_γ^-1(E) (y) sqrt( det(Dγ^T(y)D γ(y))) dL^m(y).

(Für m=0 ist γ(D) ein Punkt, und wir setzen H⁰(E)=1 , falls E≠∅ , also aus einem Punkt besteht, und H⁰(E)=0 , falls E=∅ .) Dann gelten die folgenden Aussagen:

[sect:5-7-(i)] Die obige Definition von H^m(E) ist unabhängig von der speziellen Parametrisierung γ .

[sect:5-7-(ii)] Auf einem festen Flächenstück ist E |→ H^m(E) eine ϭ -additive Abbildung.

[sect:5-7-(iii)] Für m=n ist Hⁿ=Lⁿ .

Beweis der Aussagen über das HAUSDORFF-Maß

Mit Hilfe der LEBESGUE'schen Integrationstheorie am Anfang der Vorlesung (siehe die ersten drei Kapitel chap:LebesgueIntegral, chap:MeasurableSets, chap:MeasurableFunctions) ergibt sich nun ohne jeglichen Zusatzaufwand ein Integralbrgriff auf Flächen. Wir starten für die Integrationstheorie mit dem in sect:5-7 definierten Maß H^m auf dem Ring der Flächenstückmengen von M (dies ist sogar ein ϭ -Ring). Es folgt aus sect:5-7-(ii), dass die für die Integrationstheorie nötige Bedingung eq:1-essential erfüllt ist. Also ist die gesamte am Anfang der Vorlesung entwickelte Integrationstheorie (soweit sie allgemeine Maße betraf) anwendbar.

Integral auf Flächen [sect:5-8]

Sei M⊂Rⁿ eine m -dimensionale C¹ -Fläche. Ferner sei

B:= {

∪

j=1

E_j; k∈N, E_j sind Flächenstückmengen } .

Dann ist B ein Ring. H^m ist ϭ -additiv auf B (nach sect:5-7-(ii)). Es folgt (wie in sect:1-2): Es gibt genau ein

H^m:B → R additiv,

welches auf Flächenstückmengen die Darstellung wie in sect:5-7 hat.

Das heißt, die Integrationstheorie aus Kapitel chap:LebesgueIntegral liefert die Existenz des LEBESGUE-Integrals bezüglich H^m auf M , und die allgemeinen Sätze aus Kapitel chap:MeasurableSets und Kapitel chap:MeasurableFunctions gelten. Die Menge der in diesem Sinne H^m -integrierbaren Funktionen f:M → Y bezeichnen wir mit