Contents (LaTeX)

LEBESGUE Integral  chap:LebesgueIntegral

Additive measures  sect:1-1
Some elementary measures  sect:1-2
Step functions  sect:1-3
Proposition  sect:1-4
Definition  definition:1-6
Outer measure  sect:1-5
Theorem  sect:1-7
Axioms of LEBESGUE integral  sect:1-8
Existence of LEBESGUE integral  satz:1-9
Proposition  sect:lebesgue-case
Lemma  lemma:1-10
Lemma  lemma:1-11
Satz  satz:1-12
Beweis des Satzes ohne Vollständigkeit  sect:1-13
Satz  satz:1-14
Vollständigkeit von L(μ;Y)   sect:1-15

Measurable sets  chap:MeasurableSets

Theorem (Convergence in L(μ;Y) )  satz:2-1
Proposition (Almost everywhere convergence)  satz:2-2
Theorem (Characterization of convergence)  satz:2-3
Theorem  satz:2-4
Properties of the LEBESGUE measure in Rⁿ   satz:2-5
Theorem of monotone convergence  satz:2-6
Theorem  satz:2-7
Definition (Measure space and ϭ -ring)  definition:2-8
Extension of measures  satz:2-9
LEBESGUE measure on Rⁿ   sect:2-10
Proposition  proposition:2-11

Measurable functions  chap:MeasurableFunctions

Measurable functions  sect:3-1
Theorem (Majorant criterium)  satz:3-2
Beispiele  sect:3-3
Lemma of FATOU  lemma:fatou
General convergence theorem of LEBESGUE (General dominated convergence theorem)  satz:lebesgue
Dominated convergence theorem (Convergence theorem of LEBESGUE)  satz:special-lebesgue
Continuity theorem  satz:3-6
Differentiability theorem  satz:3-7
Differenzierbarkeitssatz im n -dimensionalen  satz:3-8
Notations for the LEBESGUE measure  sect:3-9
FOURIER transformation  satz:3-10
Convolution  satz:3-11
Definition (DIRAC sequence)  definition:3-12
Remark  remark:transformations
Beispiele von DIRAC-Folgen  examples:dirac
Proposition  proposition:3-13
Definition (Polynome im Rⁿ )  definition:3-14
WEIERSTRASS'scher Approximationssatz  satz:3-15
NEWTON-Potential  satz:3-16
Eigenschaften des NEWTON-Potentials  sect:3-17

Multiple integrals  chap:MultipleIntegrals

Assumptions for the theorem of FUBINI  sect:4-1
Theorem of FUBINI  satz:fubini
Beispiele  sect:4-3
Lemma (Zusammenhang zwischen Maß und Integral)  lemma:4-4
Proposition  sect:4-5
Rotationskörper im Rⁿ   sect:4-6
Convolution of L¹ -functions  satz:4-7
Theorem of TONELLI  satz:4-8
Theorem (Approximation by convolution)  satz:4-9
Lemma (Transformation von Nullmengen)  lemma:4-10
Lemma  lemma:4-11
Transformation theorem  satz:4-12
Proposition  proposition:4-13
Spezielle Transformationen I  sect:4-14
Anwendungen  sect:4-15
Spezielle Transformationen II  sect:4-16
Transformation des DIRICHLET-Integrals  sect:4-17

Surfaces in Rⁿ   chap:Surfaces

Definition ( C^k -surfaces)  definition:5-1
Beispiele zur Definition  sect:5-2
Tangent space  sect:tangentialraum
Behauptung  sect:5-3
Theorem (Representation of surfaces)  satz:5-4
Folgerung  sect:5-5
Lemma  lemma:5-6
HAUSDORFF measure on surfaces  sect:5-7
Integral on surfaces  sect:5-8
Computation of surface integrals  sect:5-9
Kurvenintegrale ( m =1)  sect:5-10
Hyperfläche als Graph ( m=n-1 )  sect:5-11
Lemma  lemma:5-12
Folgerung  sect:5-13
Bemerkung  bemerkung:5-14
Rotationsflächen  sect:5-15
Bemerkung  bemerkung:5-16
Beispiele von Flächeninhalten  sect:5-17
Potential für Flächenbelegung  sect:5-18

Partial integration in Rⁿ   chap:PartialIntegration

Satz  satz:6-1
C¹ -Rand  definition:6-2
Theorem  satz:6-3
Partition of unity  sect:6-4
Definition ( m -dimensional null sets)  definition:6-5
Proposition  lemma:6-6
Divergence theorem (Theorem of GAUSS)  satz:6-7
Definition (GAUSS domain)  definition:6-7
Partial integration (Examples)  sect:6-8
GREEN's formula  sect:6-9
Definition  definition:6-9
CAUCHY's theorem  satz:6-10
Definition (Holomorphic functions)  definition:6-11
Funktionen mit Singularitäten  sect:6-12
CAUCHY's formula  sect:6-13
Definition (Singularitätenfunktion für den LAPLACE-Operator)  definition:6-14
Darstellungssatz für den LAPLACE-Operator  satz:6-15

Divergence type equations  chap:DifferentialEquations

Definition (Functional on C¹(clos(Ω);R^N) )  definition:7-1
Definition (Directional derivative)  definition:7-2
Theorem (First variation)  satz:7-3
Theorem (EULER-LAGRANGE equation)  satz:7-4
Fundamental lemma of calculus of variations  satz:7-5
Beispiele  sect:7-6
Theorem  satz:7-7
Satz (Divergence equation)  satz:7-8
Definition (Schwache Lösung)  definition:7-9
Theorem (Jump condition)  satz:7-10
Theorem (Conservation law)  satz:7-11
Beispiel (EULER-System für Gase)  sect:7-12

Partial integration on surfaces  chap:SurfaceIntegration

Differenzierbarkeit auf Flächen  definition:8-1
Definition (Differential operators on surfaces)  definition:8-2
Darstellung von Richtungsableitungen  sect:8-3
Darstellung von ∇_M und div _M   definition:8-4
GAUSS theorem on surfaces  satz:8-5
Krümmung einer Fläche  sect:8-6
Spezialfälle  sect:8-7
Klassischer Satz von STOKES  satz:8-8
Bemerkung  bemerkung:8-9
Variation des Flächeninhalts  sect:8-9
Partielle Integration auf Flächen  sect:8-10
Darstellung des LAPLACE-BETRAMI-Operators  sect:8-11

Appendix: Oriented integrals  chap:DifferentialForms

Alternierende p -Formen  sect:9-1
Definition (Dachprodukt)  sect:9-2
Eigenschaften des Dachprodukes  sect:9-3
Definition  sect:9-4
Definition ( p -Vektoren im Rⁿ )  sect:9-5
Definition zugehöriger Normen  sect:9-6
Beispiele  sect:9-7
Definition (Duale Basis)  sect:9-8
Proposition  sect:9-9
Folgerungen  sect:9-10
Orientierung von Unterräumen  sect:9-11
Differentialformen im Rⁿ   sect:9-12
Definition (Äußere Ableitung)  sect:9-13
Beispiele  sect:9-14
Eigenschaften  sect:9-15
Definition (Orientierung einer Fläche)  sect:9-16
Definition (Integral von Differentialformen)  sect:9-17
Proposition  sect:9-18
Folgerung  sect:9-19
Beispiel ( m=n )  sect:9-20
Beispiel ( m=1 )  sect:9-21
Beispiel ( n=2 , m=1 )  sect:9-22
CAUCHY'scher Integralsatz  sect:9-23
Allgemeiner STOKES'scher Satz  sect:9-24
GAUSS'scher Satz für Differentialformen  sect:9-25
Klassischer STOKES'scher Satz für Differentialformen  sect:9-26
GAUSS'scher Satz für Tangentialfelder  sect:9-27

Exercises  chap:Exercises

Variationsmaß  aufgabe:1
Treppenfunktionen  aufgabe:2
Nullmengen  aufgabe:3
STIELTJES-Maß  aufgabe:4
Nullmengen  aufgabe:5
Äußeres Maß  aufgabe:6
ϭ -Additivität  aufgabe:7
Treppenfunktionen  aufgabe:8
Äußeres Maß  aufgabe:7a
LEBESGUE-Integral für das Zählmaß  aufgabe:9
Konvergenz in L(μ;Y)   aufgabe:10
Konvergenz in L(μ;Y) und punktweise Konvergenz  aufgabe:11
Uneigentliche RIEMANN-Integrale und LEBESGUE-Integral  aufgabe:12
Verhalten des Integrals bei Streckungen  aufgabe:13
Messbare Funktionen  aufgabe:14
Integrierbarkeit von |x|^α   aufgabe:15
Unendliche Reihen integrierbarer Funktionen  aufgabe:16
Oszillierende Funktionen  aufgabe:17
Zum LEBESGUE'schen Konvergenzsatz  aufgabe:18
Ein weiteres Konvergenzkriterium  aufgabe:19
Konvergenz von Integralkernen  aufgabe:20
FOURIER-Transformation  aufgabe:21
Dirac-Folgen  aufgabe:22
Gammafunktion  aufgabe:23
NEWTON-Potential  aufgabe:24
Zur Faltung  aufgabe:25
Masse, Schwerpunkt und Trägheitstensor für ein Simplex  aufgabe:26
Anwendung von FUBINI  aufgabe:27
Anwendung von FUBINI  aufgabe:28
Berechnung dreidimensionaler Integrale  aufgabe:28a
Abschneidefunktion  aufgabe:29
Fundamentallösung der Wärmeleitungsgleichung  aufgabe:30
Wärmeleitungsgleichung  aufgabe:31
Transformationsformel  aufgabe:32
Zur FOURIER-Transformation  aufgabe:33
Transformationssatz für eine konforme Abbildung  aufgabe:34
Spiegelung am Einheitskreis  aufgabe:35
Zum Transformationssatz  aufgabe:36
Kardioide  aufgabe:36a
Transformation auf Halbraum  aufgabe:36b
Wiederholungsaufgabe  aufgabe:37
Wiederholungsaufgabe  aufgabe:38
Verschiedene Darstellungen eines Hyperboloids  aufgabe:39
Tangentialkegel  aufgabe:40
Krümmung einer Kurve  aufgabe:41
Möbiusband  aufgabe:42
Catenoid  aufgabe:43
Zykloid  aufgabe:44
Äußere Normalen an Kugel und Kegel  aufgabe:45
Anwendungen zum Satz von GAUSS  aufgabe:46
Kugelabschnitt  aufgabe:47
Satz von GAUSS auf unbeschränkten Gebieten  aufgabe:48
Torsion und FRENET'sches Dreibein  aufgabe:49
GAUSS'sches Gesetz der Elektrostatik  aufgabe:50
Zur CAUCHY-Integralformel  aufgabe:51
Harmonische und holomorphe Funktionen  aufgabe:52
Transformationsformel auf Flächen  aufgabe:53
Anwendung der Transformationsformel auf Flächen  aufgabe:54
Energieerhaltung für die Wellengleichung  aufgabe:55
Brachistochrone  aufgabe:56

Solutions chap:Solutions

Tables TABLES

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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