Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- EULER-System für ein Gas

Proof

Divergence type equations

Index

EULER-System für ein Gas

This node has not yet been translated

This is the original german version

Beispiel (EULER-System für Gase) [sect:7-12]

Sei (t,x) |→ ϱ(t,x) die Masse, (t,x) |→ v(t,x) die Geschwindigkeit und (t,x) |→ e(t,x) die gesamte Energie (einschließlich der kinetischen Energie). Dann gilt:

Massenerhaltung:

∂_t ϱ+ div (ϱv) = 0.

Impulserhaltung ( k -te Komponente, k=1,...,n ):

∂_t (ϱv_k)+ div (ϱv_k v - ϭ_k) = f_k.

Energieerhaltung:

∂_t e + div (ev+q) = v•f.

Dabei ist f die äußere Kraft. Die zusätzlichen Größen sind mit den grundlegenden verbunden durch konstitutive Gleichungen der Form:

ϭ_k

-pe_k, wobei p der Druck,

pv,

|v|² + ε, wobei ε die innere Energie.

Außerdem braucht man zur eindeutigen Festlegung eine weitere konstitutive Gleichung, die beispielsweise durch eine Nullstellenmenge einer Funktion ψ:R³ → R , also ψ(ϱ,p,ε) = 0 , gegeben ist. Aufgelöst ist dies äquivalent zu einer Funktion

p=p̂(ϱ,ε) , p̂ : R² → R.

Hinweis: Die spezielle Gestalt der Flussterme ist notwendig, sie ergibt sich aus zwei generellen Prinzipien:

Objektivität (bzw. Beobachtungsunabhängigkeit bzw. Relativitätsprinzip)
Entropieprinzip

Ausblick

Gibt man für dieses System von Erhaltungsgleichungen glatte Anfangswerte für ϱ , v , ε zum Zeitpunkt t=0 vor, so kann die Existenz einer glatten Lösung im Allgemeinen nur für sehr kleine Zeiten t> 0 gezeigt werden. Im weiteren Verlauf können dann Schocks auftreten, die es erforderlich machen, schwache Lösungen zu betrachten (wie etwa in definition:7-9 definiert). Aus diesem Grund werden in Analysis IV schwache Lösungen für lineare Differentialgleichungen eingeführt und behandelt (siehe z. B. [Analysis IV:Schwache Lösung] ). Die Behandlung nichtlinearer Gleichungen wie das EULER-System bleibt der Kursusvorlesung über Partielle Differentialgleichungen im Hauptstudium vorbehalten.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

Proof

Divergence type equations

Index