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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

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(In definition:7-1 ist dies die Funktion  (t,z,p) |→ |p| .)

Hier ist

Tγ(M)
:=
{v∈C1([t0,t1];  Rn)  ;  v(t0)=0,v(t1)=0  }
und
∂v E(γ)
=
t1
 
∫
t0
 
 v′(t)•
γ′(t)
|γ′(t)|
 dt
=
-
t1
 
∫
t0
 
 v(t) (
γ′(t)
|γ′(t)|
 ) ′ dt .
Also ist hier das Verschwinden der ersten Variation  ∂v E(γ)  für  v∈Tγ(M)  äquivalent zu (falls  γ∈C2([t0,t1]  Rn) )
1
|γ′(t)|
 (
γ′(t)
|γ′(t)|
 ) ′ = 0.
Man beachte hier, dass die linke Seite der Krümmungsvektor  κ(γ(t))  von  Γ  im Punkt  γ(t)  ist (siehe Übungsaufgabe aufgabe:41), und es ist
∂v E(γ) = -
t1
 
∫
t0
 
 v(t) (
γ′(t)
|γ′(t)|
 ) ′ dt = -
 
∫
Γ
 (v∘γ)-1•κdH1
Behauptung: Das Verschwinden der ersten Variation ist äquivalent dazu, dass  Γ  auf einer Geraden liegt.
Beweis: Dazu führen wir einen Bogenlängenparameter  s  ein:
s := ϭ(t) :=
t1
 
∫
t0
 
 |γ′| dL1     und    γ̃ := γ∘ϭ-1 ,
also  |γ̃′|=1 . Jetzt sieht man, dass die Linearität von  γ̃ , also der Umstand, dass  γ̃′′=0 , äquivalent zum Verschwinden der Krümmung  κ∘γ̃  ist, denn  γ̃′′=κ∘γ̃ .
Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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