EULER-LAGRANGE equation EULER-LAGRANGE equation
Divergence type equations Divergence type equations
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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

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(Also wie in definition:7-1 mit der Funktion  (x,z,p) |→ a(z)·|p|2/2+f(z) .)

Dann ist

∂v E(u) =
 
∫
Ω
 (a(u)∇u•∇v +(a'(u)
|∇u|2
2
 
 +f'(u))v) dLn .
Wenn  M  jetzt wie in satz:7-4-(1) definiert wird, dann ist das Verschwinden der ersten Variation äquivalent zu
div (a(u)∇u) = a'(u)
|∇u|2
2
 
 + f'(u)     in Ω,
u=u0     auf ∂Ω.

Für das DIRICHLET-Integral (mit  a(z)=1  und  f(z)=0 ) lauten diese Gleichungen:

Δu = 0     in Ω,
u=u0     auf ∂Ω.
Für  M=C1(clos(Ω);RN)  ist das Verschwinden der ersten Variation von  E  äquivalent zu
div (a(u)∇u) = a'(u)
|∇u|2
2
 
 +f'(u)     in Ω,
∇u•νΩ= 0     auf ∂Ω.
Zusatz: Allgemeiner kann man auch ein Funktional  E:C1(clos(Ω);R) → R  mit einem Randterm betrachten:
E(u)=
 
∫
Ω
 (a(u)
|∇u|2
2
 
 +f(u)) dLn +
 
∫
∂Ω
 g(u) dHn-1.
Für die erste Variation folgt dann
∂v E(u) =
 
∫
Ω
 (a(u)∇u•∇v +(a'(u)
|∇u|2
2
 
 +f'(u))v) dLn +
 
∫
∂Ω
 g'(u)•νΩ dHn-1
Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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