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Proof satz:7-3.
Wir zeigen den Satz auf dreierlei Weisen, sie alle beruhen jedoch
auf dem Differenzierbarkeitssatz, bzw. auf dem Beweis dieses Satzes.
1. Vorschlag.
(Dieser Beweis findet sich in vielen Mathematikbüchern.)
Wir wollen mit h(x,ε) den Integranden
des folgenden Ausdrucks bezeichnen:
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E(u+εv) =
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| | f(x,u(x)+εv(x),∇u(x)+ε∇v(x)) |
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| dx
.
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Nun ist
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| ( |
f′zk(x,u(x)+εv(x),∇u(x)+ε∇v(x)) ·vk(x)
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+ f′pk(x,u(x)+εv(x),∇u(x)+ε∇v(x))
| ) | •∇vk(x)
.
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Nach dem Differenzierbarkeitssatz satz:3-7 existiert
und hieraus folgt
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| | E(u+εv)
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=
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(
f′zk(·,u,∇u)vk
+ f′pk(·,u,∇u)∇vk
)
dLn
.
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Damit ist gezeigt, dass die Ableitung von ε |→ E(u+εv)
im Punkte ε=0 durch das Integral in der Behauptung gegeben ist.
Dies ist jedoch nicht die volle Richtungsableitung aus definition:7-2,
denn wir haben nur Folgen (uj)j∈N betrachtet,
die auf der Geraden {u+sv ; s∈R} liegen.
2. Vorschlag.
(Dieser Beweis entspricht der Definition der Richtungsableitung.)
Betrachte beliebige Folgen (uj)j∈N , (εj)j∈N wie in
definition:7-2 mit
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uj → u und vj:=
| | (uj-u) → v in C1(clos(Ω);RN)
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für j → ∞ . Dann ist
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(f(·,u+εj vj,∇u+εj∇vj)-f(·,u,∇u)) dLn
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| ( |
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(f'zk(·,u+sεjvj,∇u+sεj∇vj) vjk
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+ f'pk(·,u+sεjvj,∇u+sεj∇vj)•∇vjk)
ds | ) | dLn
.
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Da vjk → vk und ∇vjk → ∇vk gleichmäßig in
clos(Ω) , und daher u+sεjvk → u , ∇u+sεj∇vj → ∇u gleichmäßig in clos(Ω)
und gleichmäßig in s∈[0,1] , konvergiert dies für j → ∞
gegen
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( f'zk(·,u,∇u) vk
+ f'pk(·,u,∇u)•∇vk ) dLn
.
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Also existiert ∂vE(u) und ist gleich diesem Integral.
3. Vorschlag.
(Dieser Beweis findet sich in vielen Physikbüchern.)
Sei u+δu eine kleine Störung von u
(d. h. δu klein in C1(clos(Ω);RN) ). Dann ist
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E(u+δu)
=
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f(·,u+δu,∇u+∇δu) dLn
.
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Der Integrand hat die Entwicklung
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+
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(f'zk(·,u,∇u)δuk
+ f'pk(·,u,∇u)•∇δuk)
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+ (Terme höherer Ordung).
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Damit erhalten wir für E(u+δu) die Entwicklung
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+
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(f'zk(·,u,∇u)δuk
+ f'pk(·,u,∇u)•∇δuk) dLn
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(d. h. der Restterm geht in R schneller gegen 0 als δu ,
∇δu in C0(clos(Ω);RN) ).
Bezeichnen wir mit δE(u) den linearen Term der Entwicklung,
so gilt also
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δE(u)
=
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(f'zk(·,u,∇u)δuk
+ f'pk(·,u,∇u)•∇δuk) dLn
.
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Dies entspricht der Behauptung. Dieser Beweisvorschlag ist
ausreichend, wenn man weiß, wie man mit der ersten Variation
umzugehen hat, ansonsten als formale Rechnung geeignet, um dann zu
den anderen Vorschlägen zu gehen.
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