Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Properties of the elementary integral

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Properties of the elementary integral

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Proposition [sect:1-4]

[sect:1-4-(i)] Sei f ∈T( μ; Y) wie in eq:1-3 Dann ist |f| ∈T(μ;R) , wobei |f|(x) := | f(x) | , mit

|f| =

∑
j
Χ_{E_j} |y_i| ,

|| f || _T(μ) =

∫
S
|f| dμ≧ |

∫
S
f dμ | .

[sect:1-4-(ii)] T(μ;Y) ist ein Vektorraum, das elementare Integral in eq:1-3-int ist eine lineare Abbildung von T(μ;y) nach Y . Immer, wenn f ∈T(μ;Y) gegeben ist durch

f(x) =

k
∑
i=1
Χ_{A_i} (x) z_i

mit k ∈N , A_i ∈B und z_i ∈Y beliebig, so ist

∫
S
f dμ=

k
∑
i=1
μ(A_i) z_i .

[sect:1-4-(iii)] f |→ || f || _T(μ) ist eine Seminorm (d. h. aus || f || _T(μ) = 0 folgt im Allgemeinen nicht f = 0 ). Immer, wenn f ∈T(μ;Y) gegeben ist durch

f(x) =

k
∑
j=1
Χ_{E_j} (x) z_j

mit k ∈N , E_j ∈B disjunkt, z_j ∈Y beliebig, so ist

|| f || _L(μ) =

k
∑
j=1
μ(E_j) |z_j| .

Warnung: Beachte hierbei, dass die Mengen E_j disjunkt sein müssen.

[sect:1-4-(iv)] Seien f, g ∈T(μ; R) mit f(x)≦g(x) für alle x∈S . Dann folgt

∫
S
f dμ≦

∫
S
g dμ.

Proof sect:1-4-(i). Die erste Formel gilt, da die Mengen E_j aus sect:1-3 disjunkt sind. Die Ungleichung folgt aus der Dreiecksungleichung in Y , da μ≧0 , also

∑

j : 1≦j≦m

μ(E_j)y_j | ≦

∑

j : 1≦j≦m

μ(E_j) |y_j| .

Proof sect:1-4-(ii). Offensichtlich ist

V := {

∑

i=1

Χ_{A_i} z_i ; A_i ∈B, z_i ∈Y, k ∈N }

ein Vektorraum, der T(μ;Y) enthält.

Sei f = ∑ _i=1^k Χ_{A_i} z_i ∈V . Die A_i werden analog zu den E_j im vorhergehenden Abschnitt zerlegt in B^I , I ⊂{1, ..., k} . Dann ist

f =

∑

I ≠∅

Χ_B^I

∑

i ∈I

z_i =

∑

y ∈f(S) ∖{0 }

Χ_{E_y} y ,

wobei

z^I :=

∑

i ∈I

z_i und E_y :=

∪

I≠∅ : z^I = y

B^I .

Dies ist die eindeutige Darstellung von f als Treppenfunktion mit paarweise verschiedenen y . Damit ist V ⊂T(μ;Y) und der erste Teil der Behauptung gezeigt. Daraus folgt auch der zweite Teil der Behauptung, denn es gilt

∫

f dμ=

∑

μ(E_y) y =

∑

I ≠∅

μ(B^I) z_I =

∑

i=1

μ(A_i) z_i .

Es ist klar, dass das elementare Integral auf V linear ist.

Proof sect:1-4-(iv). Seien f,g ∈T(μ;R) , und es gelte f≦g . Wir wählen Darstellungen für f und g wie im Beweis von sect:1-4-(ii):

f =

∑

i=1

Χ_{A_i} z_i , g =

k̃

∑

i=1

Χ_{Ã_i} z̃_i ,

also ist

∑

i=1

Χ_{A_i} z_i +

k̃

∑

i=1

Χ_{Ã_i} · 0

k̃

∑

i=1

Χ_{Ã_i} z̃_i +

∑

i=1

Χ_{A_i} · 0 .

Sei nun B₁,...,B_l eine disjunkte Zerlegung der A₁,...,A_k,Ã₁,...,Ã_k̃ . Dann schreiben sich f und g als

f =

∑

i=1

Χ_{B_i} y_i , g =

∑

i=1

Χ_{B_i} ỹ_i

mit gewissen Zahlen y_i und ỹ_i (es ist y_i=f(x) für x∈B_i und ỹ_i=g(x) für x∈B_i ). Da f(x)≦g(x) für alle x∈S , folgt

y_i ≦ỹ_i für alle i=1,...,l .

Nach Definition des Integrals bzw. sect:1-4-(ii) folgt damit (da μ nichtnegativ)

∫

f dμ=

∑

i=1

μ(B_i)y_i ≦

∑

i=1

μ(B_i)ỹ_i =

∫

g dμ.

Proof sect:1-4-(iii). Unter Verwendung von sect:1-4-(iv) und sect:1-4-(i) gilt:

|| f+g || _T(μ)

∫

|f+g| dμ≦

∫

( |f|+|g| ) dμ

∫

|f| dμ+

∫

|g| dμ= || f || _T(μ) + || f || _T(μ) .

Ebenso folgt mit sect:1-4-(i), dass

|| αf || _T(μ) = |α| || f || _T(μ) .

Also ist || · || _T(μ) eine Halbnorm.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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