Absolute Minima von Funktionalen
Sei X ein normierter Vektorraum und E:M⊂X → R .
Sei u∈M ein
absolutes Minimum von E auf M , d. h.
Betrachte folgende drei Fälle:
Fall 1.
u ist ein innerer Punkt von M
(siehe Abbildung fig:min-2).
Sei nun v∈X . Dann gilt: u + hv∈M für alle h∈R ,
für die |h| genügend klein ist.
Betrachte nun die Abbildung h |→ E(u+hv) .
Falls diese differenzierbar ist,
folgt aus E(u)≦E(u+hv) für kleine |h| , dass
|
| Minimumproblem, 1. Fall [fig:min-2] |
Fall 2.
Sei u ein beliebiger Punkt von M
und sei v∈X mit u+hv∈M für alle h>0 ,
die klein genug sind (siehe Abbildung fig:min-3).
Falls h |→ E(u+hv) differenzierbar ist,
folgt aus E(u)≦E(u+hv) für kleine h>0 , dass
Es kann sein, dass solche Vektoren v nicht existieren.
Im speziellen Fall, dass M konvex ist, so gilt für alle
ũ∈M , dass v:=ũ-u obige Eigenschaft hat,
es ist dann u+hv∈M für alle h mit 0≦h≦1 .
|
| Minimumproblem, 2. Fall [fig:min-3] |
Fall 3.
Wir betrachten nun den Fall, dass u weder innerer Punkt
von M ist, noch M konvex ist.
Definiere dann den "Tangentialkegel" Tu(M)
wie in sect:tangentialraum
(siehe definition:7-2 unten).
Mit uj und rj wie in definition:7-2
gilt dann E(uj)≧E(u) für alle j∈N und wir fragen,
ob folgender Grenzwert (siehe Abbildung fig:min-4)
existiert.
Falls dieser Limes existiert, muss er nichtnegativ sein.
|
| Minimumproblem, 3. Fall [fig:min-4] |
|
