CAUCHY's formula CAUCHY's formula
Partial integration in  Rn  Partial integration in  Rn 
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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Representation theorem for LAPLACE operator

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Während sich sect:6-13 auf den Differentialoperator  ∂ conj(z)  bezog, leiten wir nun die analoge Aussage für den LAPLACE-Operator her. Der Singularitätenfunktion
F(z) =
1
π z
in sect:6-13 entspricht nun die folgende Funktion:

Definition (Singularitätenfunktion für den LAPLACE-Operator)    [definition:6-14]
Für  x∈Rn∖{0}   definiere
F(x):=
1
 
(n-2)ϭn
 |x|2-n
    für n≧3 ,
-
1
2π
 log|x|
    für n=2 ,
-
1
2
 |x|
    für n=1 ,
wobei  ϭn = Hn-1(∂B1n(0)) . Es gelten folgende Eigenschaften:
  • [definition:6-14-(1)] Es ist  F∈C∞(Rn∖{0};R)  mit  ΔF=0  in  Rn∖{0} , außerdem ist  F  auf beschränkten Mengen  Ln -integrierbar.
  • [definition:6-14-(2)] Es ist  F(x) = 1/ϭnψ(|x|) , wobei  ψ:]0,∞[ → R  die Gleichung  ψ'(r)=-r1-n  erfüllt, also ist
    [eq:6-14]
    ∇F(x) = -
    1
     
    ϭn
    x
     
    |x|n
    		     für x∈Rn∖{0} ,
    und  ∇F  ist auf beschränkten Mengen  Ln -integrierbar.

Proof. Sei
ψ(r)=
1
n-2
 r2-n
    für n≧3 ,
- logr
    für n=2 ,
-r
    für n=1 ,
,
woraus folgt:  ψ'(r) = -r1-n . Da  ϭ2=2π  und  ϭ1 = 2 , ist also  F(x) = 1/ϭnψ(|x|)  und damit:
∇F(x) =
1
 
ϭn
 ψ'(|x|)
x
|x|
 = -
1
 
ϭn
x
 
|x|n
 .
In  Rn∖{0}  gilt  ΔF = div (∇F)  und aus
∂xj(
xi
 
|x|n
 
 ) =
δij
 
|x|n
 
 -
nxi
 
|x|n+1
 
xj
|x|
 
 =
1
 
|x|n
 (δij-n
xixj
 
|x|2
 
 )
folgt
[eq:6-14div]
n
∑
i=1
 ∂xi(
xi
 
|x|n
 
 ) =
1
 
|x|n
 (n-n
|x|2
 
|x|2
 
 ) = 0.

Damit können wir zeigen:

Darstellungssatz für den LAPLACE-Operator    [satz:6-15]
Sei  Ω⊂Rn  ein beschränktes GAUSS-Gebiet (siehe Definition definition:6-7) und  F  wie in definition:6-14. Weiter sei  u∈C1(clos(Ω))∩C2(Ω)  mit  Δu∈L1(Ω) . Dann gilt für  x0∈Ω :
u(x0)
=
 
∫
∂Ω
 (F(x-x0)∇u(x) - ∇F(x-x0) u(x))•νΩ(x) dHn-1(x)
-
 
∫
Ω
 F(x-x0)Δu(x)  dLn(x)

Proof. Wie oben sei  0<ε≦ε0  und  ε0  klein genug. Wendet man die GREEN'sche Formel auf  Ωε= Ω∖Bε(x0)  mit  v(x) = F(x-x0)  an, so sieht man, dass sich das Randintegral in der Behauptung schreiben lässt als
 
 
∫
∂Bε(x0)
 F(x-x0)∇u(x) νBε(x0)  dHn-1(x)
-
 
 
∫
∂Bε(x0)
 (∇F(x-x0) u(x))•νBε(x0) dHn-1(x)
+
 
 
∫
Ωε
 F(x-x0)Δu(x) dx .
Nun ist  F(·-x0)Δu∈L1(Ω) , denn diese Funktion lässt sich außerhalb  Bε0(x0)  durch eine Konstante mal  |Δu|  abschätzen, un innerhalb  Bε0(x0)  durch eine Konstante mal  |F(·-x0)| . Daher konvergiert nach dem LEBESQUE'schen Konvergenzsatz satz:special-lebesgue das Volumenintegral gegen
 
∫
Ω
 F(x-x0)Δu(x) dx.
Der Absolutbetrag des ersten Randintegral ist abgeschätzt durch
≦
Cu
 
 
∫
∂Bε(x0)
 |F(x-x0)| dHn-1(x)
=
Cu
1
 
ϭn
 |ψ(ε)|εn-1 → 0     für ε → 0 ,
und mit der Transformation  x = x0 + εξ  ergibt sich für das zweite Randintegral
=
- εn-1
 
 
∫
∂B1(0)
 ∇F(εξ)•ξu(x0 +εξ) dHn-1(ξ)  ,
und wegen eq:6-14 ist
∇F(εξ)•ξ= -
1
 
ϭn
1
 
εn-1
 ξ•ξ ,
also gilt schließlich für dieses Integral
=-εn-1(-
1
 
ϭnεn-1
 )
 
 
∫
∂B1(0)
 u(x0+εξ) dHn-1(ξ).
Der Integrand konvergiert gleichmäßig in  ξ  gegen  u(x0) , der ganze letzte Ausdruck nach Definition von  ϭn  also gegen  u(x0) .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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