Isolated singularities Isolated singularities
Partial integration in  Rn  Partial integration in  Rn 
Representation theorem for LAPLACE operator Representation theorem for LAPLACE operator
Representation theorem for LAPLACE operator Index
© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

CAUCHY's formula

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CAUCHY's formula    [sect:6-13]
Assume the same for  Ω  and  f  as in CAUCHY's theorem satz:6-10. Then for  z0∈Ω :
f(z0) =
1
2i π
 
∫
∂Ω
f(z)
 
z-z0
 τΩ(z) dH1(z) -
1
π
 
∫
Ω
∂ conj(z)f(z)
 
z-z0
 
 dL2 .

Proof. Für  ε  klein genug wende satz:6-10 auf  Ωε:=Ω∖Bε(z0)  und die Abbildung  z |→ f(z)/z-z0  an. Dann ist
∂ conj(z) (
f(z)
 
z-z0
 ) =
∂ conj(z)f(z)
 
z-z0
 
und deshalb
[eq:6-13]
 
∫
∂Ω
f(z)
 
z-z0
 dH1(z) =
 
 
∫
∂Bε(z0)
f(z)
 
z-z0
 τBε(z0) dH1(z) + 2i 
 
 
∫
Ωε
∂ conj(z)f(z)
 
z-z0
 
 dL2 .
Sei nun  0<ε≦ε0 . Da  ∂ conj(z)f(z)/z-z0  durch  1/ε0|∂ conj(z)f(z)|  außerhalb, und durch  1/|z-z0|  innerhalb von  Bε0(z0)  majorisiert wird, konvergiert der zweite Summand auf der rechten Seite von eq:6-13 nach dem LEBESGUE'schen Konvegenzsatz gegen  2i ∫ Ω∂ conj(z)f(z)/z-z0 dLn .

Nun parametrisieren wir  ∂Bε(z0)  durch  γ(θ)=z0+εei θ ,  0<θ<2π . Es ist  γ′(θ)=εi ei θ  und darum  |γ′(θ)|=ε . Da  τBε(z0)=i z-z0/|z-z0| , ist

 
 
∫
∂Bε(z0)
f(z)
 
z-z0
 τBε(z0) dH1
=
 
 
∫
∂Bε(z0)
 i
f(z)
 
|z-z0|
 dH1
=
2π
∫
0
i 
ε
 f(z0+εei θ)|γ′(θ)| dθ
=
2π
∫
0
 i f(z0+εei θ) dθ.
Da  f(z0+εei θ) → f(z0)  gleichmäßig in  θ  für  ε → 0 , konvergiert die rechte Seite und damit der erste Summand auf der rechten Seite von eq:6-13 gegen  2πi f(z0) .

Definition (Path integral)
Let  M  a  C1 -curve in the space  R2  (which we identify with  C ), moreover  M = γ(]t0,t1[)  with a parametrization  γ:]t0,t1[ → R2 . Moreover, let
τ(z):=
γ′(t)
|γ′(t)|
      for z=γ(t)
and  f:M → C  be  H1 -integrable. Then
 
∫
M
 fτdH1 =
t1
 
∫
t0
 
 (fτ)∘γ(t)|γ′(t)| dt =
t1
 
∫
t0
 
 f(γ(t))γ′(t) dt .
The last integral is called path integral with respect to  γ .
Comment: This path integral is an oriented integral (see sect:9-18). Moreover, it is defined for every mapping  γ∈C1([t0,t1];R2)  with  γ([t0,t1])⊂D ,  D⊂C  open, and every continuous function  f:D → C .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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