Funktionen mit Singularitäten [sect:6-12]
Sei Ω⊂Rn ein beschränktes GAUSS-Gebiet
(siehe Definition definition:6-7).
Ferner sei
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f∈C0(clos(Ω)∖{x0k; k=1,...,l};Rn)∩C1(Ω∖{x0k; k=1,...,l};Rn)
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und div (f)∈L1(Ω) ,
d. h. div f kann an den Stellen x0k
integrierbare Singularitäten haben.
Jede dieser Stellen nennt man auch
isolierte Singulatität.
Man stechen nun kleine Kugeln um diese Stellen heraus,
d. h. man betrachcte das Gebiet
wobei ε>0 so klein ist, dass die Kugeln
clos(Bε(x0k)) in Ω enthalten
und paarweise disjunkt sind.
Mit dem Satz von GAUSS,
angewandt auf Ωε statt auf Ω , folgt
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f•νΩε dHn-1
=
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div (f) dLn.
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Da vorausgesetzt war, dass div (f)∈L1(Ω) ,
konvergiert ΧΩε div (f)
gegen ΧΩ div (f)
punktweise für ε → 0 mit Majorante | div (f)| .
Also konvergiert die rechte Seite von eq:6-12 gegen
∫ Ω div (f) dLn .
Außerdem ist
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f•νΩε dHn-1
=
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f•νΩ dHn-1
+
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f•νΩε dHn-1.
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Wegen νΩε=-νBε(x0k) auf
∂Bε(x0k) folgt
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f•νΩ dHn-1
=
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div (f) dHn
+
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(
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f•νBε(x0k) dHn-1 ) .
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Zu untersuchen ist also, ob Limiten der Integrale über
∂Bε(x0k) für ε → 0 existieren.
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