Proof.
Zunächst betrachten wir den Fall,
dass f=0 in einer Umgebung von A .
Überdecke die kompakte Menge
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K:= clos({x ∈clos(Ω) ; f(x) ≠0 })
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wie folgt mit Kugeln:
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Wähle Brx(x) so, dass ∂Ω∩B2 rx (x)
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eine Graphendarstellung besitzt.
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Dann folgt:
Da K kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung von K ,
etwa Punkte x1,...,xl∈K mit
Wende darauf die Folgerung von sect:6-4 an
und erhalte eine Partition der Eins ηj , j=1,...,l , mit
ηj ∈C∞(Rn) ,
supp (ηj) ⊂Brxj(xj) ,
∑ j=1l ηj (x) = 1 für x∈K .
Nun gilt für alle j :
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div (ηj f) dLn
=
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ηj f •νΩ dHn-1 .
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In der Tat, nach Konstruktion folgt dies für xj ∈Ω
aus dem Satz satz:6-1,
und für xj ∈∂Ω aus Satz satz:6-3.
Nach Summation über j erhält man wegen
der Linearität des Integrals und des Divergenzoperators
die Behauptung.
Für allgemeines f wähle zur Ausnahmemenge A Funktionen
ηδ nach lemma:6-6. Nach dem gerade Gezeigten
ist der Satz dann bewiesen für die Funktion (1-ηδ)f ,
es gilt also
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div ((1-ηδ)f) dLn
=
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(1- ηδ)f •νΩ dHn-1 .
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Nun wähle eine Nullfolge (δk)k∈N . Es gilt
|1-ηδk| ≦1 , (1-ηδk) → 1 punktweise
auf clos(Ω) für k → ∞ . Daher konvergiert die rechte Seite
nach dem LEBESGUEschen Konvergenzsatz
satz:special-lebesgue gegen
da Hn-1(∂Ω∖A)<∞ vorausgesetzt war
(also beschränkte Hn-1 -messbare Funktionen auf ∂Ω
integrierbar sind).
Für die linke Seite gilt
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div ((1-ηδk)f) dLn
=
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(1-ηδk) · div (f) dLn
-
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(∇ηδk)•f dLn .
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Analog zu oben konvergiert der erste Summand
nach dem LEBESGUEschen Konvergenzsatz
satz:special-lebesgue gegen
(mit der Majorante | div f| ∈L1(Ω) ).
Der zweite Summand lässt sich abschätzen durch
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(∇ηδk) •f dLn |
≦
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|f|
·
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|∇ηδk| dLn
→ 0 für k → ∞ |
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nach Konstruktion der ηδ .
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