Partition of unity Partition of unity
Partial integration in  Rn  Partial integration in  Rn 
Proof of the divergence theorem Proof of the divergence theorem
Proof of the divergence theorem Index
© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

 m -dimensional zero sets

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Definition ( m -dimensional null sets)    [definition:6-5]
Let  1 ≦m ≦n . Then  N ⊂Rn  is called  m -dimensional null set, if for all  ε> 0 :
For j∈N there exist Brj(xj)⊂Rn, such that N ⊂
 
∪
j ∈N
 Brj(xj) and
 
∑
j ∈N
 rjm ≦ε.
First one verifies easily, that for these  m -dimensional null sets the statements about subsets and countable unions of null sets in sect:1-5-(iii), sect:1-5-(iv) are satisfied. Moreover, the following holds:
  • [definition:6-5-(1)] For  m=n :  N  is  n -dimensional null set, if and only if  Ln(N) = 0 .
  • [definition:6-5-(2)] If  M ⊂Rn  is an  m -dimensional  C1 -surface, then  N ⊂M  is an  m -dimensional null set, if and only if  Hm(N)=0 .
  • [definition:6-5-(3)] If  M  is a  k -dimensional  C1 -surface and  k < m , then  M  is an  m -dimensional null set.

Proof definition:6-5-(1). Jede Kugel  Brj(xj)  liegt in einem Würfel  Qj  mit Kantenlänge  2rj , also  Ln(Qj)=2nrjn  und somit
N⊂
 
∪
j∈N
 Qj mit
 
∑
j∈N
 Ln(Qj)= 2n
 
∑
j∈N
 rjn.
Also ist jede  n -dimensionale Nullmenge eine  Ln -Nullmenge (nach Definition sect:1-5). Ist umgekehrt  N  eine  Ln -Nullmenge, so gehen wir wie im Beweis des Lemmas lemma:4-10 vor. Zu  ε>0  gibt es Quadermengen  Qj=╳ i=1n[aj,i,bj,i]  mit
r̃j:=
 
min
i
 (bj,i-aj,i)≧
1
4
 
max
i
 (bj,i-aj,i),
so dass
N⊂
 
∪
j∈N
 Qj     und    
 
∑
j∈N
 Ln(Qj)≦ε,
außerdem  Ln(Qj)≧r̃jn . Ist  xj:= ( aj,i+bj,i/2 ) i=1,...,n  das Zentrum von  Qj , so folgt für  x∈Qj , dass  (x-xj)i≦2rj , also  |x-xj|≦2 sqrt(n)·r̃j . Somit ist  Qj⊂Brj(xj) , wenn  rj:=4 sqrt(n)·r̃j  und
rjn≦(4 sqrt(n))nLn(Qj),     somit    
 
∑
j∈N
 rjn≦(4 sqrt(n))n·ε.
Dies zeigt, dass  N  eine  n -dimensionale Nullmenge ist.
Proof definition:6-5-(2). Ohne Einschränkung sei  N  in einer kompakten Teilmenge  K  eines Flächenstücks von  M  mit der Parametrisierung  γ  enthalten. Nach dem Beweis von sect:5-18 ist  γ-1  in einer Umgebung von  K  auf  M  LIPSCHITZ-stetig mit einer LIPSCHITZ-Konstanten  C . Sei nun  ε ,  Brj(xj)  für  j ∈N  wie in obiger Definition. Dann sind  rj≦ε1/m  für alle  j∈N . Falls also  ε  klein genug, so liegen alle  Brj(xj)∩M  in dieser Umgebung von  K . Mit  xj=γ(yj)  gilt also
γ-1(Brj(xj)∩M) ⊂BCrj(yj) ,     also    γ-1(N) ⊂
 
∪
j∈N
 BC rj (yj) .
Außerdem gilt:
 
∑
j∈N
 Lm (BCrj(yj)) = κm Cm
 
∑
j∈N
 rjm ≦κm Cm ε.
Daraus folgt:
Lm (γ-1(N)) ≦κm Cm ε → 0      für ε → 0.
Also ist  γ-1(N)  eine  Lm -Nullmenge und nach Definition von  Hm  in sect:5-7 ist  N  dann eine  Hm -Nullmenge.

Ist umgekehrt  Lm(γ-1(N))=0 , so gibt es nach dem Beweis von definition:6-5-(1) zu  ε>0  eine Überdeckung

γ-1(N)⊂
 
∪
j∈N
 Brj(yj) mit
 
∑
j∈N
 

Lm(Brj(yj))
=κmrjm
≦ε.
Dabei können wir annehmen, dass alle  Brj(yj)∩N ≠∅ . Für kleines  ε  liegen jetzt  Brj(yj)  in einer Teilmenge, auf der  γ  LIPSCHITZ-stetig mit einer LIPSCHITZ-Konstanten  C  ist. Mit  xj=γ(yj)  ist also  γ(Brj(yj))⊂BCrj(xj) , d. h.
N⊂
 
∪
j∈N
 BCrj(xj) und
 
∑
j∈N
 (Crj)m≦
Cm
 
κm
 
 ε.
Dies zeigt, dass  N  eine  m -dimensionale Nullmenge ist.
Proof definition:6-5-(3). Ohne Einschränkung sei  M  ein  k -dimensionales Flächenstück mit Parametrisierung  γ:D → M . Außerdem reicht es zu zeigen, dass kompakte Teilmengen  N⊂M   m -dimensionale Nullmengen sind. Für solche  N  ist  clos(γ-1(N))  in einer offenen Teilmenge  D'  mit kompaktem  clos(D')⊂D  enthalten. Dann ist  γ  auf  clos(D')  LIPSCHITZ-stetig mit einer Konstanten  C . Sei  ε>0  klein. Überdecke  γ-1(N)  mit Würfeln  Qj⊂D' ,  j=1,...,lε  der Kantenlänge  2ε , so dass die  intr(Qj)  disjunkt sind. Dann ist
lε·(2ε)k =
lε
∑
j=1
 
 Lk(Qj)≦Lk(D')<∞.
Sind dann  yj  die Zentren der  Qj ,  xj:=γ(yj) , so ist  γ(Qj)⊂BC sqrt(n)·ε(xj) , also
N⊂
lε
∪
j=1
 
 BC sqrt(n)·ε(xj)
mit
lε
∑
j=1
 
 (C sqrt(n)·ε)m=
(C sqrt(n))m
 
2k
 
 ·
 

lε(2ε)k
≦Lk(D')
·


εm-k
→ 0 für ε → 0
,
was die Behauptung beweist.

For the proof of the divergence theorem for domains with not smooth boundary we need the following

Proposition    [lemma:6-6]
Let  A  be a compact  (n-1) -dimensional null set in  Rn . Then, for  δ>0 , there are functions  ηδ ∈C∞(Rn)  with  0 ≦ηδ ≦1 ,   supp (ηδ) ⊂Bδ(A) ,  ηδ = 1  in some neighbourhood of  A , and
 
 
∫
Rn
 | ∇ηδ | dLn ≦cn δn-1.
Here  cn  is a constant depending only on the dimension  n .

Proof. Sei
A ⊂
 
∪
j ∈N
 Brj (xj) ,     
 
∑
j
 rjn-1 ≦ε:= (
δ
2
 ) n-1 ,
wobei wir ohne Einschränkung annehmen können, dass  xj∈A . Es folgt  rj ≦ε1/n-1 = δ/2 . Da  A  kompakt ist, wird  A  schon von endlich vielen dieser Kugeln überdeckt, etwa:  A ⊂∑ j =1l Brj (xj) . Wähle nun  ψj ∈C∞(Rn)  (siehe Abbildung fig:abschneidefkt) mit
ψj = 1 in Brj(xj) ,     0 ≦ψj ≦1      und supp (ψj) ⊂B2rj(xj) ,
sowie  | ∇ψj | ≦cn/rj  punktweise. Dies erreicht man z. B., indem man nach Übungsaufgabe aufgabe:29 ein  ϕ∈C∞(Rn)  wählt mit  0≦ϕ≦1 ,  ϕ=1  in  B1(0)  und   supp (ϕ)⊂B2(0) . Dann setze
ψj(x) := ϕ (
x-xj
 
rj
 
 ) ,     also ∇ψj(x)=
1
 
rj
 ∇ϕ (
x-xj
 
rj
 
 ) .

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Cut-off function  [fig:abschneidefkt]

Behauptung:  η:= 1- ∏ j=1l (1-ψj)  erfüllt das Lemma.

Aus  rj ≦δ/2  folgt   supp (ψj) ⊂Bδ(xj) ⊂Bδ(A) . Damit ist   supp (η) ⊂Bδ(A)  und es gilt

∇η= -
l
∑
j=1
 (
 
∏
i ≠j
 (1-ψi) ) ∇ψj
und damit die Abschätzung
| ∇η| ≦
l
∑
j=1
 | ∇ψj |
Daraus folgt
 
 
∫
Rn
 | ∇η| dLn
≦
l
∑
j=1
 
 
∫
Rn
 | ∇ψj | dLn
=
l
∑
j=1
 
 
∫
B2rj (xj)
 |∇ψj | dLn
≦
 
∑
j
cn
 
rj
 
 Ln(B2rj(xj))
=
cn 2n κn
 
∑
j
 rjn-1
≦
cn 2n κn (
δ
2
 ) n-1
=
2 cn κn δn-1

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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