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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Partition of unity

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Partition of unity    [sect:6-4]
Let  D⊂Rn  and  D=∪ j∈NUj  with open bounded sets  Uj⊂clos(Uj)⊂D . Further, let  Kj⊂Uj  be compact sets with  Kj∩Ki=∅  for  j≠i . Moreover, assume that the covering  (Uj)j∈N  of  D  is locally finite, that is
∀  x0∈D ∃ ε0>0  :  Bε0(x0)⊂D and {j∈N ;  Uj∩Bε0(x0)≠∅} is finite.
Then there exist functions  ηj∈C∞(Rn)  with  ηj≧0 ,   supp (ηj)⊂Uj ,  ηj=1  on  Kj , and
[eq:6-partition]
 
∑
j∈N
 ηj(x)=1      for all x∈D.
Remark: The sum in eq:6-partition is a finite sum for each  x∈D , since   supp (ηj)⊂Uj  for all  j , hence  ηj(x)≠0  only for finitely many  j , which follows from the fact, that the covering is locally finite.

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Partition der Eins  [fig:partition-der-eins]

Application
Let  K⊂Rn  be compact,  Uj⊂Rn  open for  j=1,...,k  with  K⊂∪ j=1kUj . Then there exist  ηj∈C0∞(Rn)  with  ηj≧0  and   supp (ηj)⊂Uj , such that
k
∑
j=1
 ηj(x)=1      for x∈K.

Proof Partition der Eins. Zunächst ändern wir die Mengen  Uj  ab. Wir zeigen: Es gibt offene Mengen  Vj  so dass
Kj⊂Vj⊂Uj mit Vj∩Ki= ∅ für i≠j,
und weiterhin  D=∪ j∈NVj . Dazu definieren wir
Vj:=Uj∖
 
∪
i≠j
 Ki =
 
∩
i≠j
 Uj∖Ki.
Offensichtlich ist dann  Kj⊂Vj⊂Uj  und  Vj∩Ki=∅  für  i≠j . Nun ist  clos(Uj)  abgeschlossene und beschränkte Teilmenge von  D , also kompakt in  D . Da die Überdeckung  (Uj)j∈N  lokal finit ist, folgt dass für jedes  j∈N  die Menge
{i∈N;  Ui∩clos(U)j≠∅} endlich ist.
Damit ist auch  Ki∩clos(U)j≠∅  nur für endlich viele  i , sagen wir, höchstens für  i=1,...,i(j) . Dann ist
Vj=Uj∖
i(j)
∪
i=1
 Ki offen.
Außerdem ist immer noch  D=∪ j∈NVj , denn ist  x∈Kj , so ist  x∉Ki  für  i≠j , also ist  x∈Vj . Ist andererseits  x∉∪ i∈NKi , so gibt es ein  j , so dass  x∈Uj  und damit auch  x∈Vj  gilt.

Wir zeigen nun: Es gibt  Wj  offen mit

Kj⊂Wj⊂clos(Wj) ⊂Vj,
so dass weiterhin  D=∪ j∈NWj . Dazu konstruieren wir  Wm  induktiv mit
 
∪
0≦j<m
 Wj∪
 
∪
j≧m
 Vj = D.
Dann folgt die Behauptung  D=∪ j∈NWj  für  m → ∞ , da auch die Überdeckung  (Vj)j∈N  lokal finit ist. Mit  W0:=∅  gilt obige Gleichheit für  m=1 . Seien  W0,...,Wm-1  schon konstruiert, wobei  m≧1 . Dann ist
∂Vm⊂
 
∪
j<m
 Wj∪
 
∪
j>m
 Vj, und ∂Vm ist kompakt,
und die rechte Seite der Inklusion ist eine offene Menge. Also gibt es ein  δ>0 , so dass
clos(Bδ(∂Vm)) ⊂
 
∪
j<m
 Wj ∪
 
∪
j>m
 Vj.
Dabei ist  Bδ(∂Vm):={x∈Rn;   dist (x,∂Vm)<δ} . Setze
Wm:=Vm∖clos(Bδ(∂Vm)).
Dann ist
Vm⊂Wm∪clos(Bδ(∂Vm))⊂
 
∪
j≦m
 Wj ∪
 
∪
j>m
 Vj,
und damit die induktive Konstruktion der  Wm  abgeschlossen.

Nun sind wir in der Lage, die Funktionen  ηj  zu definieren. Da  clos(Wj)  kompakte Teilmenge der offenen Menge  Vj  ist, gibt es nach Übungsaufgabe aufgabe:29 eine Funktion  η̃j ∈C∞(Rn)  mit  η̃j≧0 , supp (η̃j)⊂Vj  und  ηj̃=1  auf  clos(Wj) . Da  D⊂∪ j∈NWj , folgt  ∑ j∈Nη̃j(x)>0  für alle  x∈D  (Die Summe ist endlich, vergleiche Bemerkung in sect:6-4). Definiere

ηj(x):=
η̃j(x)



 
 
∑
j∈N
 η̃j(x)
 
 .
Nach Konstruktion haben die  ηj  die verlangten Eigenschaften.

Proof Folgerung. Sei  D = Rn  in der Aussage von sect:6-4. Komplettiere die Überdeckung von  K  zu einer des  Rn : Wähle Radien  R0 < R1 < ...  mit  K⊂BR0(0)  und  lim i → ∞ Ri = ∞ . Dann bilden die Mengen  U1,...,Uk  zusammen mit  Uk+1 := BR1(0) ∖K  und  Ul+i = BRi(0) ∖BRi-2 (0)  für  i≧2  eine lokal finite Überdeckung  (Uj)j ∈N  von  Rn . Setze die  Kj = ∅ .

Erhalte eine zugehörige Partition der Eins  (ηj)j ∈N  nach sect:6-4, d. h.  ∑ j=1∞ ηj (x) =1  für alle  x ∈Rn . Für  x ∈K  ist  ηj(x) = 0  für  j > k . Daraus folgt die Behauptung.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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