Proof.
Setze τ(y,z):=(y,g(y)+z) (siehe Abbildung fig:trafo-4).
Damit ist
| | [fig:trafo-4] |
und detDτ= detDτ-1=1 . Es ist klar, dass mit
Ω̃:={(y,z); y∈Rn-1,z<0}
τ:Ω̃ → Ω ein Diffeomorphismus ist. Sei nun
f̃:=f∘τ . Dann ist Df̃=(Df)∘τDτ und daher
(Df)∘τ= Df̃(Dτ)-1 , d. h.
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(∂jfi)∘τ=
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∂kf̃i (Dτ)-1kj .
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Also für i=1,...,n :
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∂jf̃i - ∂nf̃i ∂jg
für j<n.
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Bemerkung:
Dies kann man auch herleiten, indem man die
Identität f = f̃∘τ-1 , d. h.
f(y,z) = f̃(y,z-g(y)) ableitet.
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Dies ergibt
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div (f)∘τ=
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∂if̃i
+ ∂n ( -
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∂kgf̃k+f̃n ) ,
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wobei wir ausgenutzt haben, dass g und daher auch ∂k g
für k<n nicht von z abhängt, also ∂n(∂k g)=0
ist, d. h. ∂n(∂k gf̃k)=∂k g∂nf̃k .
Mit dem Transformationsatz (Satz satz:4-12) folgt, da
div (f)∈L1(Ω) nach Voraussetzung
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div (f) dLn
=
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(
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∂if̃i+∂n(-
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∂kgf̃k+f̃n) ) dLn.
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Falls nun alle ∂jfi stetig in clos(Ω) sind,
so folgt mit dem Satz von FUBINI (Satz satz:4-12):
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(
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∂n
(-
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∂kgf̃k+f̃n)(y,z) dz ) dy 0 .
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Nach satz:6-1 ist ∫ Rn-1∂if̃i(y,z) dy=0 ,
da supp (f) beschränkt ist, und der Hauptsatz der
Differential- und Integralrechnung aus Analysis I impliziert
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∂n
( -
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∂kgf̃k+f̃n ) (y,z) dz |
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( -
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∂kgf̃k+f̃n ) (y,0)
= ( -∇g(y),1 ) •f̃(y,0)
.
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Also gilt
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div (f) dLn
=
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(-∇g(y),1)•f̃(y,0) dy
.
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Sei nun f beliebig. Setze
Ω̃δ:={(y,z); y∈Rn-1,z<-δ} . Das
bisher Gezeigte, d. h. eq:6-gauss-graph,
lässt sich nun anwenden auf Ω̃δ statt Ω̃ , da die Ableitungen ∂j fi auf clos(Ω̃δ) stetig
sind. Wir erhalten
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div (f) dLn
=
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(-∇g(y),1)•f̃(y,-δ) dy
.
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Nun konvergiert
∫ τ(Ω̃δ) div (f)dLn
gegen ∫ Ω div (f)dLn , da
div (f)∈L1(Ω) . Da f̃∈C0(clos(Ω̃)) ,
konvergiert außerdem f̃(y,-δ)
gleichmäßig in y gegen f̃(y,0) . Also konvergiert das Integral
auf der rechten Seite für δ → 0 auch gegen den
entsprechenden Ausdruck in eq:6-gauss-graph.
Also gilt eq:6-gauss-graph auch für beliebiges f .
Nach eq:6-normal ist
und daher schließlich
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νΩ(y,g(y))•f(y,g(y)) sqrt(1+|∇g(y)|2) dy
=
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νΩ•f dHn-1
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nach sect:5-9.
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