Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Interior case

Motivation

Partial integration in Rⁿ

Definition ( C¹ -boundary)

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Interior case

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Satz [satz:6-1]

Let Ω⊂Rⁿ be an open set and f:Ω → Y , Y=R^l , continuously differentiable with compact support in Ω (notation: f ∈C₀¹(Ω;Y) ). Then for i=1, ..., n

∫

∂_i f(x) dx = 0 .

This is equivalent to the statement, that for all vector fields f∈C₀¹(Ω;Rⁿ)

∫

div (f) dLⁿ = 0 .

Proof. Setze f durch 0 außerhalb von Ω fort. Dann wähle einen Quader Q=╳ _i=1ⁿ ]a_i,b_i[ mit supp(f) ⊂Q . Dann folgt wie in der Motivation (mit den dortigen Bezeichnungen) mit dem Satz von FUBINI:

∫

∂_i f(x) dx

∫

∂_i f(x) dx

∫

Q_i'

(

b_i

∫

a_i

∂_i f(x₁,...,x_i-1,x_i,x_i+1,...,x_n) dx_i )

dx' ,

da f(x₁,...,x_i-1,a_i,x_i+1,...,x_n) = f(x₁,...,x_i-1,b_i,x_i+1,...,x_n) = 0 , denn f | _∂Q = 0 .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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