Motivation
1. Der eindimensionale Fall.
Sei I:= ]a,b[ , also ist ∂I = {a,b} . Da auf
∂I das Maß H0 das Zählmaß ist,
können wir schreiben
wenn wir νI: ∂I → R definieren durch
Dann lautet der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung also
Wie wir sehen werden, ist dies die 1 -dimensionale Version des
GAUSS'schen Satzes satz:6-7.
2. Partielle Integration für Quader.
Sei
|
|
Q:= ╳ j=1n ]aj,bj[ , f: Rn → R stetig differenzierbar,
|
|
|
sowie für i∈{1,...,n}
|
|
Q'i :=╳ j=1,...,n : j ≠i ]aj,bj[
x' = (x1, ..., xi-1, xi+1, ..., xn).
|
|
|
Dann ist unter Verwendung des Satzes von FUBINI:
|
| |
| | |
| |
(
| |
∂i f(x1, ...,xn) dxi ) dx'
|
|
|
| | |
| |
(
| |
| | f(x1, ...,xn) dxi ) dx' ,
|
|
| |
|
|
und nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung,
angewandt auf das innere Integral, ist dies
|
| |
| | |
| |
f
| | | |
| | (x1, ..., xi-1, bi, xi+1, ..., xn) |
|
| |
| dx'
|
|
|
| | |
| |
f
| | | |
| | (x1, ..., xi-1, ai, xi+1, ..., xn) |
|
| |
| dx'
|
|
|
| | |
| |
|
|
da in diesem Fall das Oberflächenelement wegen
detDγi± = 1 nicht auftaucht.
Offensichtlich gilt mit der äußeren Normalen
νQ:∂Q → Rn (siehe Abbildung fig:normale),
|
|
νQ(x)=
|
|
| |
für xj = bj, j∈{1,...,n} , |
|
|
| |
für xj = aj, j∈{1,...,n} ,
|
|
|
|
|
|
|
dass
| | Normale an Quader [fig:normale] |
Also wird obige Identität zu
|
|
| |
∂i f dLn
=
| |
(f ei) •νQ dHn-1 .
|
|
|
Hierbei werden die Ecken und Kanten außer Acht gelassen, da sie
eine n-1 -dimensionale Nullmenge sind (siehe Definition
definition:6-5), und daher für das Integral irrelevant sind.
Dies ist der GAUSS'schen Satzes satz:6-7
für Quader.
3. Vektorielle Schreibweise.
Als erste Möglichkeit einer Verktorschreibweise sei
f: Rn → R , dann folgt aus dem gerade Gezeigten, dass
|
|
| |
∇f dLn
=
| |
f νQ dHn-1 ∈Rn .
|
|
|
Als zweite Möglichkeit betrachte
ein stetig differenzierbares Vektorfeld q:Rn → Rn .
Dann wende das oben Gezeigten an auf
qi in der i -ten Richtung und summiere über i . Es ergibt sich
| |
|
|
| |
div q dLn
=
| |
q •νQ dHn-1 .
|
|
|
Umgekehrt, setzen wir q=f ei , so erhalten wir daraus wieder
die vorher gezeigten Identitäten.
Der GAUSS'sche Satz (Satz satz:6-7) formuliert
eq:6-gauss-Q für allgemeine Gebiete im Rn mit bestimmten
Eigenschaften.
|
