Beispiele von Flächeninhalten [sect:5-17]
- [sect:5-17-(i)]
Schraubenkurve.
Sei R>0 und h>0 und
γ:R → R3 definiert durch
Dann ist die Kurvenlänge von γ([a,b]) nach sect:5-10:
Also zum Beispiel ist H1(γ([0,2π])) = 2πR sqrt(1+(h/R)2)>2πR .
- [sect:5-17-(ii)]
Ellipse.
Seien a,b>0 und
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M:={ x∈R2 ; (
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) 2 = 1 }.
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Wir betrachten die Parametrisierung (von M∖{(a,0)} ).
für 0<θ<2π .
Also gilt für die Kurvenlänge von M :
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H1(M)=H1(γ([0,2π])) =
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|γ'(θ)| dθ=
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sqrt(a2 sin2θ+b2 cos2θ) dθ.
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- [sect:5-17-(iii)]
Torus.
Sei M⊂R3 der Torus aus sect:5-2. Es war
Bis auf eine H2 -Nullmenge ist γ(]0,2π[2) dieser Torus
und die Fläche dieses Torus ist daher nach bemerkung:5-14
Für die Ableitungen gilt:
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∂θγ=
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,
∂ϕγ=
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,
also ∂θγ•∂ϕγ=0.
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Also folgt
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|∂θγ∧∂ϕγ|
= |∂θγ|·|∂ϕγ|
= (R+r cosϕ)·r .
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Damit berechnet sich der Flächeninhalt des Torus zu
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H2(M)=
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(R+r cosϕ)r dϕdθ= 2πr
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(R+r cosϕ) dϕ= (2π)2 r·R .
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