Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Product measure

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Product measure

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[sect:1-2-(iv)] Produktmaß. B_i ⊂P(S_i) seien Ringe und μ_i : B_i → R seien additive Maße für i= 1,...,n . Mengen E = ╳ _i=1ⁿ E_i mit E_i ∈B_i nennen wir Produktmengen. Für solche Mengen definiere

[eq:1-2-prod]

μ(E) :=

m
∏
i=1
μ_i(E_i) .

Weiter sei

B:= {

m
∪
j=1
E^j ; m∈N, E^j Produktmenge } .

Dann gilt: B ist ein Ring und es gibt genau ein μ : B → R , das additiv ist und eq:1-2-prod erfüllt.

Proof. Sei A die Menge der Produktmengen. Es ist leicht einzusehen, dass der Durchschnitt und die Differenz solcher Mengen wieder eine Produktmenge ist, denn für E = ╳ _i=1ⁿ E_i und F = ╳ _i=1ⁿ F_i ist

E ∩F = ╳ _i=1ⁿ (E_i ∩F_i)

und

E ∖F =

∪

i=1

(E₁ ∩F₁) ×...×(E_i-1 ∩F_i-1) ×(E_i ∩F_i) ×E_i+1 ×...×E_n .

Wie im Beweis von sect:1-2-(i) ausgeführt, reicht es daher die Eigenschaft eq:1-2-prop zu verifizieren. Sei also E = ╳ _i=1ⁿ E_i eine Produktmenge, sowie E^j = ╳ _i=1ⁿ E^j_i disjunkte Produktmengen mit E = ∪ _j=1ⁿ E^j . Es ist zu zeigen:

μ(E) =

∑

j=1

μ(E^j)

Zum Beweis zerlegen wir wie in Abschnitt sect:1-1 die E^j_i in disjunkte B_i^I mit B_i^I = ∩ _{j ∈I} E^j_i ∖∪ _{j ∉I} E^j_i . Dann ist

μ_i(E_i^j) =

∑

I ; j∈I

μ_i (B_i^I),

und deshalb

μ(E^j) =

∑

I₁,...,I_n ;

∀ i: j∈I_i

∏

i=1

μ_i (B_i^I_i).

Damit folgt

∑

μ(E^j)

∑

I₁,...,I_n ;

∀ i: j∈I_i

∏

i=1

μ_i (B_i^I_i)

∑

I₁,...,I_n ≠∅

∏

i=1

μ_i (B_i^I_i)

∏

i=1

(

∑

I ≠∅

μ_i (B_i^I) )

∏

i=1

μ(E_i)

μ(E) .

Bei dieser Identität wurde ausgenutzt, dass die Mengen E^j disjunkt sind und μ_i(∅) = 0 .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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