The surface element The surface element
Surfaces in  Rn  Surfaces in  Rn 
Some surface areas Some surface areas
Some surface areas Index
© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Axially symmetric surfaces

english This node has not yet been translated
This is the original german version german


Rotationsflächen    [sect:5-15]

Sei  n≧3 ,  I⊂R  ein offenes Intervall und  r:I → ]0,∞[  stetig differenzierbar. Dann ist

M = { x∈Rn  ;  |(x1,...,xn-1)| = r(xn)}
eine  C1 -Fläche und für jede stetige  Hn-1 -integrierbare Funktion  f  auf  M  gilt:
[eq:apfel]
 
∫
M
 f(x) dHn-1(x) =
 
∫
I
 r(z) sqrt(1+r'(z)2)
 
 
∫
∂B1n-1(0)
 f(r(z)ξ,z) dHn-2(ξ) dz.
Bemerkung: Siehe dazu auch bemerkung:5-16.
Für den Fall  n=3  hat obiges Doppelintegral dann die Form:
 
∫
M
 f(x) dH2 =
 
∫
I
 r(z) sqrt(1+r'(z)2)
2π
∫
0
 f(r(z)ei θ,z) dθ
Proof.  M  ist eine  C1 -Fläche, denn wenn  ψ:Rn-1×I → R  definiert ist durch  ψ(x):=r(xn)2-∑ i<nxi2 , so gilt:
M = {x∈Rn  ;  xn∈I und ψ(x) = 0}
und  ∇ψ(x) = ( -2x1,...,-2xn-1,2r(xn)r'(xn))≠0  für  x∈M .

Betrachte nun den Fall  n=3 . Eine Parametrisierung von  M  bis auf eine  H2 -Nullmenge ist gegeben durch:

γ(z,θ) :=
r(z) cosθ
r(z) sinθ
z
,  z∈I,    0<θ<2π.
Damit gilt unter Verwendung von bemerkung:5-14
 
∫
M
 f dH2 =
 
∫
I×]0,2π[
 f∘γ|∂zγ∧∂θγ| dL2.
Wegen
∂zγ=
r'(z)ei θ
1
,     ∂θγ=
r(z)i ei θ
0
folgt dann  ∂zγ•∂θγ= 0  und damit:
|∂zγ∧∂θγ| = |∂zγ|·|∂θγ| = sqrt(1+r'2)·r

Betrachte nun ein beliebiges  n≧3 . Sei  ϭ: G⊂Rn-2 → Rn-1  die Parametrisierung eines Flächenstücks von  ∂B1n-1(0) . Definiere

γ(z,y):=
r(z)ϭ(y)
z
, also ∂z y =
r'ϭ
1
und ∂yjγ=
r∂jϭ
0
,
d. h
Dγ=
r' ϭ
r∂1ϭ
...
r∂n-2ϭ
1
0
...
0
.
Da  ϭ·∂jϭ= ∂j(|ϭ|2/2) = 0 , sieht man leicht, dass
DγT Dγ=
1+r'2
0
0
r2 DϭTDϭ
 .
Hieraus folgt
det(DγT Dγ)
=
r2(1+r'2)· det(DϭT Dϭ).
Wir erhalten, dass für jedes  f , welches auf dem Flächenstück von  γ  lebt, also außerhalb des Bildes von  γ  verschwindet,
 
∫
M
 f dHn-1 =
 
∫
I×D
 f∘γ sqrt( det(DγTDγ))  dLn-2
=
 
∫
I
 r(z) sqrt(1+r'(z)2)
 
∫
D
 f(r(z)ϭ,z) sqrt( detDϭT Dϭ) dHn-2 dL1(z).
Das innere Integral kann geschrieben werden als
 
 
∫
∂B1n-1(0)
 f(r(z)ξ,z) dHn-2(ξ),
womit eq:apfel für Funktionen  f  auf Flächenstücken gezeigt wäre. Benutzen wir als  ϭ  die Abbildung  γ1  aus der Bemerkung in lemma:5-12 (Umkehrung der stereographischen Projektion), so ist  M∖{en}  ein Flächenstück, und die Behauptung ist bewiesen. Bei Verwendung anderer Parametrisierungen (siehe sect:4-16) muss man  f  wie in sect:5-9 auf endlich vielen Flächenstücken zerlegen.

Bemerkung    [bemerkung:5-16]
Die Aussagen in lemma:5-12 und sect:5-15 gelten auch für integrierbare Funktionen. Genauer:
  • [bemerkung:5-16-(i)]  f:Rn → R  sei  Ln -integrierbar, dann gilt für  L1 -fast alle  r>0 :  f  ist auf  ∂Br(0)   Hn-1 -integrierbar, und es ist
     
     
    ∫
    Rn
    		 f dLn =
    ∞
    ∫
    0
     
     
    ∫
    ∂Br(0)
    		 f dHn-1 dr.
  • [bemerkung:5-16-(ii)]  f:M → R  sei  Hn-1 -integrierbar. Dann gilt für  L1 -fast alle  z∈I :  f  ist auf  Mz:={x∈M  ;  xn=z}   Hn-2 -integrierbar, und es ist
     
    ∫
    M
    		 f dHn-1 =
     
    ∫
    I
    		 r(z)3-n sqrt(1+r'(z)2)
     
     
    ∫
    Mz
    		 f dHn-2 dz.
    Beachte: Die Integralidentitäten sind analog zum Satz von Fubini zu verstehen: Auf der rechten Seite existiert das innere Integral für  L1 -fast alle  r  bzw.  z  und ist als Funktion von  r  bzw.  z  über  ]0,∞[  bzw. nach Multiplikation mit dem Faktor  r(z)3-n sqrt(1+r'(z)2)  über  I  eine integrierbare Funktion bzgl.  L1 . Auf der  L1 -Nullmenge, auf der die inneren Integrale keinen Sinn machen, kann der Wert dann beliebig, z. B.  = 0 , gesetzt werden.

Proof. Betrachte bemerkung:5-16-(ii) (Beweis zu bemerkung:5-16-(ii) ist analog). Sei  γ:(z,y) |→ γ(z,y)  eine Parametrisierung wie im Beweis von sect:5-15, und ohne Einschränkung  f=0  außerhalb des Bildes von  γ . Dann gilt (nach der Darstellung von Flächenintegralen in sect:5-9
 
∫
M
 f dHn-1 =
 
∫
I×D
 f∘γ det(DγTDγ) dLn-1,
wobei der Integrand auf der rechten Seite  Ln-1  integrierbar ist, und   det(DγTDγ)=r sqrt(1+(r')2) det(DϭT Dϭ) , wobei  r sqrt(1+(r')2)  stetig und positiv ist. Nach dem Satz von Fubini ist dieses  (n-1) -dimensionale Integral
=
 
∫
I
 r(z) sqrt(1+r'(z)2) (
 
∫
D
 f(r(z),ϭ(y),z) sqrt( detDϭT(y)Dϭ(y)) dLn-2(y) )  dz,
wobei nach diesem Satz der Integrand des inneren Integrals für  L1 -fast alle  z  als Funktion von  y  eine  Ln-2 -integrierbare Funktion ist. Nun definiert  ϭz(y):=r(z)ϭ(y)  eine Parametrisierung des zugehörigen Flächenstücks von  Mz , so dass also für  z  außerhalb obiger  L1 -Nullmenge das innere Integral nach sect:5-9
=
 
 
∫
Mz
 f dHn-2
ist, wobei  f  auf  Mz  eine  Hn-2 -integrierbare Funktion ist. Dies beweist die Behauptung.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

The surface element The surface element
Surfaces in  Rn  Surfaces in  Rn 
Some surface areas Some surface areas
Some surface areas Index
© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany