Proof.
Setze γ(y):=(y,g(y)) .
Dann ist Dγ(y) identifiziert mit einer n×(n-1) Matrix:
Daraus berechnet man
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A := DγTDγ=(δij+∂ig∂jg)i,j=1,...,n-1 .
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Um det A zu berechnen geben wir zwei Möglichkeiten an:
1. Berechnung der Eigenwerte.
Berechne alle (e,λ) mit Ae=λe
(da A eine reelle symmetrische Matrix ist, sind alle Eigenwerte reell):
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<==> ei+∂ig
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∂jgej = λei
für i=1,...,n
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<==> (1-λ)e+(∇g•e)∇g = 0 .
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Also hat A (n-2) -mal den Eigenwert 1
(für e•∇g=0 ,
und ∇g steht auf n-2 linear unabhängigen
Eigenvektoren senkrecht).
Weiter ist λ=1+|∇g|2
Eigenwert von A zum Eigenvektor e=∇g , da
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A ∇g = ∇g + |∇g|2 ∇g
= (1 + |∇g|2) ∇g .
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Die Eigenwerte sind
also λ1=...=λn-2=1 ,
λn-1=1+|∇g|2 . Daraus folgt
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sqrt( det A)= sqrt(
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λi)
= sqrt(1+|∇g|2).
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2. Determinante als Multilinearform.
Aufgrund der Multilinearität der Determinantenabbildung
und da diese alternierend ist, gilt:
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detA= det(ei+∂ig∇g)i=1,...,n-1=
1+
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∂ig2=1+|∇g|2.
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