Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Proof of these properties

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Proof of these properties

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Proof sect:5-7-(i). Sei γ̃:D̃ → M eine weitere Parametrisierung eines Flächenstücks M mit clos(E)⊂γ̃(D̃) . Dann folgt clos(E)⊂M₀:=γ(D)∩γ̃(D̃) . Nach sect:5-5 ist

τ:=γ^-1∘γ̃: γ̃^-1(M₀) → γ^-1(M₀)

ein Diffeomorphismus und somit γ̃=γ∘τ auf γ̃^-1(M₀) . Für die Ableitung von γ̃ gilt also Dγ̃=(Dγ)∘τ Dτ , somit ist

Dγ̃^T Dγ̃=(Dτ)^T(Dγ)^T∘τ Dγ∘τDτ und deshalb

det(Dγ̃^T Dγ̃)=( detDτ)² det(Dγ^T Dγ)∘τ.

Damit folgt nach dem Transformationssatz (Satz satz:4-12)

∫

D̃

Χ_γ̃^-1(E) sqrt( det(Dγ̃^T Dγ̃)) dL^m

∫

D̃

Χ_γ̃^-1(E) sqrt( det(Dγ^T∘τDγ∘τ))| detDτ| dL^m

∫

Χ_γ^-1(E) sqrt( det(Dγ^TDγ)) dL^m,

denn τ(γ^-1(E))=γ̃^-1(E) .

Proof sect:5-7-(ii). Sei γ:D → M₀ eine Parametrisierung des Flächenstücks M₀ . Wir haben zu zeigen, dass für paarweise disjunkte Borelmengen E_k ⊂M₀ , k∈N , gilt

H^m(E)=

∑

k∈N

H^m(E_k), E:=

∪

k∈N

E_k .

Nun ist H^m(E_k)<∞ für alle k∈N . Da die E_k disjunkt sind, ist Χ_{∪_k E_k} =∑ _k Χ_{E_k} . Ebenso sind γ^-1(E_k) disjunkt. Dann folgt die Behauptung aus der Linearität des Integrals für L^m und dem Satz über monotone Konvergenz für L^m .

Proof sect:5-7-(iii). In diesem Fall ist det(Dγ^T Dγ)=( detDγ)² , und mit dem Transformationssatz (Satz satz:4-12) folgt

Hⁿ(E)=

∫

γ^-1(E)

| detDγ| dLⁿ=Lⁿ(E).

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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