Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Proof of equivalences

Representation of tangent spaces

Surfaces in Rⁿ

Conclusion

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Proof of equivalences

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Proof satz:5-4-(i) ==> satz:5-4-(ii). Es ist D γ(y₀) (R^m) = T_x₀(M) ein m -dimensionaler Unterraum nach sect:tangentialraum. Wir betrachten die Zerlegung Rⁿ=R^m×R^n-m mit

x=(y,z), y∈R^m, z∈R^n-m,

y_i=x_i für i=1,...,m , z_j=x_m+j für j=1,...,n-m ,

sowie die Projektion P:Rⁿ → R^m definiert durch P(y,z):=y .

Sei nun Q:Rⁿ → Rⁿ irgendeine lineare orthogonale Transformation mit der Eigenschaft

[eq:5-orthogonal-transformation]

P(Q(T_x₀(M)))=R^m .

Dann ist P ∘Q injektiv auf T_x₀(M)=Dγ(y₀)(R^m) und τ:= P ∘Q ∘γ: D → R^m ist k -mal stetig differenzierbar. Die Ableitung

D τ(y₀) = P ∘Q∘D γ(y₀)

ist injektiv, da P ∘Q injektiv auf T_x₀(M) = Dγ(y₀)(R^m) ist. Nach dem Satz von der inversen Abbildung (siehe Analysis II) hat τ lokal in y₀ eine k -mal stetig differenzierbare Inverse τ^-1 .

Sei also D'⊂D offen und zusammenhängend mit y₀∈D' , so dass τ:D' → D̃:=τ(D') ein C^k -Diffeomorphismus ist. Sei nun

G := Q ∘γ∘τ^-1:D̃ → Rⁿ .

Dann ist auch G k -mal stetig differenzierbar. Außerdem ist P(G(y))= τ∘τ^-1 (y) = y , d. h. es gibt ein k -mal stetig differenzierbares g mit

G(y) = (y,g(y)) .

Genauer gesagt: P(G(y))=y bedeutet G_i(y)=y_i für i=1,...,m und g(y)=(g₁(y),...,g_n-m(y)) ist definiert durch g_j(y)=G_m+j(y) für j=1,...,n-m .

Für y∈D̃ ist dann x:=γ∘τ^-1(y)∈M mit

Q(x)=G(y)=(y,g(y)).

Damit ist satz:5-4-(ii) für die Menge D̃ gezeigt, wenn man noch Ũ geeignet wählt.

Zur Bemerkung 1: Dγ(y₀) ist injektiv, d. h. die Vektoren ∂₁γ(y₀),...,∂_mγ(y₀) sind linear unabhängig. Daher gibt es 1≦i₁<...<i_m≦n , so dass die Matrix (∂_jγ_{i_k}(y₀))_j,k=1,...,m invertierbar ist. (Zur Erklärung: Mit Hilfe des Dachprodukts (siehe Kapitel chap:DifferentialForms)) ist ∂₁γ(y₀)∧...∧∂_mγ(y₀)≠0 , was zur behaupteten Eigenschaft äquivalent ist.) Wähle dann i_m+1,...,i_n so, dass {i₁,...,i_n}={1,...,n} . Dann definiert

Q(x):=(x_{i_k})_k=1,...,n

eine Permutationsmatrix (d. h. eine spezielle orthogonale Transformation) mit

P(Q(∂_jγ(y₀))) = (∂_jγ_{i_k}(y₀))_k=1,...,m .

Also ist die Eigenschaft eq:5-orthogonal-transformation erfüllt, und damit die Bemerkung bewiesen.

Zur Bemerkung 2: Dγ(y₀) ist injektiv. Wähle eine Orthonomalbasis {τ₁,...,τ_m} von T_x₀(M) (z.B. mit Hilfe des GRAM-SCHMIDT'schen Orthogonalisierungsverfahrens), und ergänze zu einer Orthonormalbasis {τ₁,...,τ_n} des Rⁿ . Dann gibt es genau eine lineare Abbildung Q:Rⁿ → Rⁿ mit Q(τ_i)=e_i für i=1,..., n , die dann eine orthogonale Transformation ist.

Proof satz:5-4-(ii) ==> satz:5-4-(i). Trivial. Setze γ(y):= Q^-1(y,g(y)) .

Proof satz:5-4-(ii) ==> satz:5-4-(iii). Trivial. Setze ϕ̃(x) := (x_m+i-g_i(x₁, ..., x_m))_{i=1, ...,n-m} und ϕ:= ϕ̃ ∘Q^-1 .

Proof satz:5-4-(iii) ==> satz:5-4-(ii). Nach Voraussetzung ist Dϕ(x₀):Rⁿ → R^n-m surjektiv, also ist T:=ker(Dϕ(x₀)) ein m -dimensionaler Unterraum. Wähle nun zu T (wie im Beweis der Bemerkung 2 zu T_x₀(M) ) eine orthogonale Transformation Q mit Q(T)=R^m×{0} und definiere

f(y,z):=ϕ∘Q^-1(y,z) für (y,z)∈R^m×R^n-m (=Rⁿ) .

Mit (y₀,z₀):=Q(x₀) ist dann f(y₀,z₀)=0 und

Df(y₀,z₀)=Dϕ(x₀)∘Q^-1

und für alle (y,z)∈R^m×R^n-m

Df(y₀,z₀)(y,z) = 0 <==> Q^-1(y,z)∈T <==> z=0 .

Damit ist D_zf(y₀,z₀):R^n-m → R^n-m bijektiv. Nach dem Satz über implizite Funktionen (siehe Analysis II) lässt sich die Nullstellenmenge von f nahe (y₀,z₀) als Graph schreiben.

Proof satz:5-4-(ii) ==> satz:5-4-(iv). Trivial. Setze τ(y,z):=(y,g(y)+z) . Es ist det Dτ(y,z) = 1 .

Proof satz:5-4-(iv) ==> satz:5-4-(iii). Trivial. Ist P̃ die Projektion auf R^n-m , P̃(y,z):=z , so setze ϕ=P̃∘τ^-1 . Dann ist P̃=ϕ∘τ und damit P̃=Dϕ(τ(y,z))∘Dτ(y,z) surjektiv. Dann muss auch Dϕ(τ(y,z)) surjektiv sein.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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