Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Elementary LEBESGUE measure on Rn

Counting measure

LEBESGUE Integral

Product measure

Index

Elementary LEBESGUE measure on Rⁿ

This node has not yet been translated

This is the original german version

[sect:1-2-(iii)] Elementares LEBESGUE-Maß auf Rⁿ . Seien a,b ∈Rⁿ mit a=(a₁,...,a_n) , b=(b₁,...,b_n) , a_i ≦b_i für i = 1, ..., n , ]a,b[ ⊂E ⊂[a,b] , wobei ]a,b[ := ╳ _i=1ⁿ ]a_i,b_i[ und [a,b] := ╳ _i=1ⁿ [a_i,b_i] . Ein solches E nennen wir auch Quadermenge und wir definieren für solche E :

[eq:1-2-ndim]

μ(E) :=

n
∏
i=1
(b_i-a_i) .

Weiter sei

B:= {

m
∪
j=1
E_j ; m∈N, E_j Quadermengen } .

Dann ist B ein Ring und es gibt genau ein μ : B → R , das Gleichung eq:1-2-ndim erfüllt. Die Abbildung μ heißt LEBESGUE-Maß im Rⁿ . Im weiteren Verlauf der Vorlesung benutzen wir dafür die Bezeichnung

Lⁿ := μ.

Proof. Sei A die Menge der Quadermengen. Es ist leicht einzusehen, dass der Durchschnitt und die Differenz solcher Mengen wieder eine Quadermenge ist. Wie im Beweis von sect:1-2-(i) ausgeführt, reicht es daher die Eigenschaft eq:1-2-prop zu verifizieren. Dies kann analog zu sect:1-2-(i) geschehen.

Alternativ, da es sich bei eq:1-2-ndim um eine Produktformel handelt, fassen wir die Situation als Spezialfall des folgenden Beweises für Produktmaße auf.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

Counting measure

LEBESGUE Integral

Product measure

Index