Proof.
Es gilt beide Teilmengenbeziehungen zu überprüfen. Wir zeigen zuerst
D γ(y0)(Rm) ⊂Tx0(M) : Wegen der
Differenzierbarket von γ kann man γ in y0 linear
approximieren durch:
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γ(y) = γ(y0) + D γ(y0)(y-y0) + | y-y0
| ε(y)
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mit ε(y) → 0 für y → y0 .
Nun definiere yr := y0 + r e für
e ∈Rm ∖{0 } , r>0 .
Dann ist yr∈D für r klein genug und
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= D γ(y0) (e) + |e|ε(yr).
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Somit gilt γ(yr)-γ(y0)/r → Dγ(y0)(e) ,
was nach der Definition von Tx0(M) gerade
heißt.
Nun zu der Inklusion Tx0(M) ⊂D γ(y0)(Rm) :
Sei v ∈Tx0(M) , xk∈M mit xk → x0 für k → ∞ ,
sowie rk > 0 so, dass xk - x0/rk → v .
Definiere weiterhin: yk := γ-1 (xk) .
Dann gilt yk → y0 für k → ∞ wegen der Stetigkeit von
γ-1 . Ferner ist (wir können annehmen, dass xk≠x0
für alle k )
wobei ε(yk) → 0 für k → ∞ .
Setze zk:=yk - y0/ | yk - y0 | .
Dann ist (zk)k∈N eine
Folge von Einheitsvektoren und insbesondere beschränkt. Also
existiert eine Teilfolge (zki)i∈N und ein e ∈Rn ,
so dass zki → e für i → ∞ und || e || = 1 ,
also e ≠0 . Daraus folgt
wobei Dγ(y0)(e)≠0 , da Dγ(y0) injektiv, und
deshalb
Aus der Eindeutigkeit der Grenzwerte folgt schließlich
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v =
| | ·D
γ(y0)(e)
= D γ(y0) (
| | ) ,
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und somit v ∈D γ(y0) (Rm) .
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