Beispiele zur Definition [sect:5-2]
Wir geben einige einfache Beispiele, die zum Verständniss der
Definition beitragen:
- [sect:5-2-(i)]
Sei n=2 , m=1 : γ(t):=(t2,t3) für t∈R ,
und M:=γ(R) . Es gilt für (x1,x2)∈M :
x2=t3=±|t|3=±x13/2 und x1≧0 . Ferner
ist γ unendlich oft differenzierbar und γ-1
stetig. Wegen γ′(t)=(2t,3t2) ist
γ′(t)≠0 für
t≠0 , aber γ′(0)=0 . Also sind γ(]0,∞[) und
γ(]-∞,0[) 1 -dimensionale C∞ -Flächenstücke,
d. h. Ck -Flächenstücke für alle k∈N . Im Punkt 0 ist
die Bedingung definition:5-1-(iii) aus obiger Definition verletzt.
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Achtung:
Aus der Tatsache, dass γ:]-ε,ε[ → R2
nicht die Definition definition:5-1 erfüllt,
darf man nicht (!) schließen,
dass γ(]-ε,ε[) kein
C1 -Flächenstück ist.
Es könnte eine andere (!) Parametrisierung geben,
welche die gleiche Bildmenge hat und definition:5-1 erfüllt.
Es kann jedoch gezeigt werden:
Im vorliegenden Fall existiert keine solche andere Parametrisierung.
(Siehe auch Übungsaufgabe aufgabe:44.)
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- [sect:5-2-(ii)]
Sei n=2 , m=1 :
γ(t):=( sin 2t) ( cos t, sin t) für -a<t<a und
Ma:=γ(]-a,a[) . Dann ist für alle t (in komplexer Schreibweise)
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γ′(t)=(2 cos 2t+i sin 2t)ei t≠0 .
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Für a<π/2 ist γ auf [-a,a] bijektiv.
Man sieht dann leicht, dass Ma ein
1 -dimensionales C∞ -Flächenstück.
Für a=π/2
ist Ma kein Flächenstück. Dann ist Ma kompakt und
γ-1 in γ(0) nicht stetig.
(Es gilt γ(0)=lim t↘-π/2γ(t)=lim t↗π/2γ(t)=0 .)
Also ist die Bedingung
definition:5-1-(ii) aus obiger Definition
im Punkt 0 verletzt.
- [sect:5-2-(iii)]
Spirale.
Sei n=3 , m=1 : Sei r>0 und
γ(t):=(t,r cos t,r sin t) . Dann ist
γ′(t)=(1,-r sin t,r cos t)≠0 für alle t∈R .
Außerdem ist γ injektiv.
Daher sieht man leicht, dass M:=γ(R) ein 1 -dimensionales
C∞ -Flächenstück und damit eine C∞ -Kurve. Mit
dieser Parametrisierung ist M auch als Graph gegeben,
d. h. M= graph (g) ,
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γ(t)=(t,g(t)), g(t):=(r cos t, r sin t),
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wobei g:R → R2 .
Bemerkung:
Betrachte allgemeiner m<n , D⊂Rm offen, und
g:D → Rn-m stetig differenzierbar. Dann gilt für
γ(y):=(y,g(y))∈Rn :
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Dγ(y)(ei)=
| | γ= ( ei,
| | g(y) ) , i=1,...,m.
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Die partiellen Ableitungen von γ sind also linear
unabhängig und die Ableitung ist daher injektiv.
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- [sect:5-2-(iv)]
Torus.
Sei n=3 , m=2 : Sei 0<r<R<∞ und
Dann ist
somit
Also ist M:=γ(R2) eine 2 -dimensionale Fläche, aber
γ ist keine globale Parametrisierung im Sinne eines
Flächenstücks. Es gibt jedoch endlich viele Di⊂R2 , so
dass Mi:=γ(Di) Flächenstücke mit M=∪ i Mi sind.
(Die minimale Anzahl der benötigten Flächenstücke ist 2 .)
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