• [sect:4-16-(1)] Zylinderkoordinaten im  R³ .  Sei  x = τ(r,θ,z)  mit:

  x1 = r cosθ x2 = r sinθ x3 = z

  (Siehe Abbildung fig:zylinder.) Dann gilt für die JACOBI-Determinante:

  detD τ(r ,θ,z) = r

  wobei  r > 0 ,  - π< θ< π ,  z ∈R .

  Zylinderkoordinaten  [fig:zylinder]

• [sect:4-16-(2)] Kugelkoordinaten im  R³ .  Sei  x = τ(r,θ,ϕ)  mit:

  x1 = r cosθ cosϕ x2 = r sinθ cosϕ x3 = r sinϕ

  (Siehe Abbildung fig:kugel.) Also gilt für die JACOBI-Determinante:

  detD τ(r ,θ,ϕ) = r2 cosϕ,

  wobei  r>0 ,  - π< θ< π ,  -^π/₂ < ϕ< ^π/₂ .

  Kugelkoordinaten  [fig:kugel]

• [sect:4-16-(3)] Polarkoordinaten im  Rⁿ .  Ausgehend von den Polarkoordianten auf dem  R²  führen wir die Polarkoordiaten auf dem  Rⁿ  rekursiv durch folgende Vorschrift ein:

  τn+1(r,ϕ1,...,ϕn):= τn(r,ϕ1,...,ϕn-1) cosϕn r sinϕn

  (siehe ausführliche Darstellung im Königsberger)

• [sect:4-16-(4)] Wir betrachten die Transformation

  τ:B1n-1(0)×]0,∞[ → {x∈Rn;  xn > 0},

  τ(y,r) := (ry,r sqrt(1-|y|2)).

  Dann gilt   detDτ(y,r)=^rn-1/ _{sqrt(1-|y|²)} .

• [sect:4-16-(5)] Folgerung.  Sei  f ∈L¹Rⁿ  rotationssymmetrisch , d. h.

  ∃ ϕ:[0,∞] → Y   :  f(x)=ϕ(|x|).

  Dann ist

  ∫ Rn f(x) dx = nκn ∞ ∫ 0 rn-1ϕ(r) dr .

Ist  τ:Ω̃ → Ω  ein Diffeomorphismus, so gilt