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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Proof of the transformation rule

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Proof. Wir zeigen: Wenn  f∘τ| detDτ|  integrierbar ist, dann ist  f  integrierbar und es gilt eq:4-12. Für die Rückrichtung kann dieselbe Aussage dann auf  τ-1  statt auf  τ  und  f̃=f∘τ| detDτ|  statt  f  angewandt werden, denn
f̃∘τ-1| detDτ-1|=f.
Zunächst sei  f∘τ= ΧQ   und  Q  eine Quadermenge mit  clos(Q)⊂U . Da  Ln(∂Q)=0  und deshalb nach Lemma lemma:4-10 auch  Ln(τ(∂Q))=0  ist, können wir ohne Einschränkung annehmen, dass  Q  abgeschlossen ist. Dann ist nämlich auch  τ(Q)  abgeschlossen und beschränkt, und deshalb  f= Χτ(Q)   integrierbar.

Für lineares  τ  haben wir die Aussage von eq:4-12 schon in Lemma lemma:4-11 bewiesen. Die Idee ist nun, ein nichtlineares  τ  durch lineare Abbildungen zu approximieren.

Dazu zerlegen wir den Quader  Q  in Teilquader  Qj  mit

Qj:=╳ i=1n[aij,bij].
Dabei spielt es keine Rolle, wenn sich die Ränder der  Qj  überlappen, da dies wie oben nur Nullmengen ergibt. Wir haben also eine Zerlegung der Form
Q =
m
∪
j=1
 Qj ,     intr(Qi)∩intr(Qj) = ∅ für i≠j ,
mit Quadermengen  Qj . Wie im Beweis von Lemma lemma:4-10 können wir, indem wir ggf. die Quader nochmal geeignet unterteilen, annehmen, dass
rj:=
 
min
1≦i≦n
 (bij-aij) ≧
1
4
 
max
1≦i≦n
 (bij-aij) .

Wir definieren das Zentrum des Quaders  Qj  durch

[eq:4-zentrum]
zj:= (
a1j+b1j
2
 
 , ...,
anj+bnj
2
 
 ) ∈Qj .
Sei  ϱ> 0 . Wir können die Unterteilung so fein wählen, dass  rj ≦ϱ  für jeden Teilquader  Qj . Auf  Qj  definieren wir als lineare Approximation an  τ 
ϭj(y):=τ(zj)+Dτ(zj)(y-zj).
Für  -1/2≦δ≦1/4  sei nun
[eq:4-qdelta]
Qjδ := ╳ i=1n[aij-δ(bij-aij),bij+δ(bij-aij)].
Proposition proposition:4-13 liefert dann für gegebenes  δ>0 , falls  ϱ  klein genug, für alle Quader  Qj 
[eq:4-12a]
ϭj(Qj-δ)⊂τ(Qj)⊂ϭj(Qj+δ) .

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Verhalten kleiner Quader unter Transformation  [fig:trafo-1]

Es ist  Ln(Qj-δ)=(1-2δ)n·Ln(Qj)  und analog  Ln(Qj+δ)=(1+2δ)n·Ln(Qj) . Mit Lemma lemma:4-10 und Lemma lemma:4-11 folgt

[eq:4-12leq]
Ln(τ(Q))
=
m
∑
j=1
 Ln(τ(Qj))
≦
m
∑
j=1
 Ln(ϭj(Qj+δ))
=
m
∑
j=1
 | detDτ(zj)|Ln(Qj+δ)
=
(1+2δ)n
m
∑
j=1
 | detDτ(zj)|Ln(Qj)
=
(1+2δ)n·
m
∑
j=1
 
 
∫
Qj
 | detDτ(zj)| dy .
Analog gilt
[eq:4-12geq]
Ln(τ(Q)) ≧(1-2δ)n·
m
∑
j=1
 
 
∫
Qj
 | detDτ(zj)| dy.
Da  τ  stetig differenzierbar und   det  stetig ist, gilt  | detDτ(zj)- detDτ(y)|≦εϱ  für alle  y∈Qj  gleichmäßig in  j , wobei  εϱ → 0  für  ϱ → 0 . Also ist, eq:4-12leq mit der Dreiecksungleichung fortführend,
Ln(τ(Q))
≦
(1+2δ)n (
m
∑
j=1
 
 
∫
Qj
 (| detDτ(y)|+ εϱ) dy )
=
(1+2δ)n (
 
∫
Q
 | detDτ(y)| dy + εϱLn(Q) )     und analog
Ln(τ(Q))
≧
(1-2δ)n (
 
∫
Q
 | detDτ(y)| dy - εϱLn(Q) ) .
Für  ϱ → 0  folgt  εϱ → 0 . Lasse dann  δ  gegen  0  gehen und erhalte
Ln(τ(Q))=
 
∫
Q
 | detDτ(y)| dy,
d. h. die Behauptung ist für  f= Χτ(Q)   bewiesen.

Also gilt dann auch wegen der Linearität des Integrals: Ist  f∘τ  eine Treppenfunktion mit Quadern als Stufenmengen, so ist  f ∈L1(V;Y)  und

 
∫
V
 f dLn =
 
∫
U
 f∘τ| detDτ| dLn .

Sei nun  f  beliebig mit  f∘τ| detDτ|∈L1(U;Y) . Wir zeigen weiter unten, dass es dann eine Folge von Funktionen  fk:V → Y  gibt, so dass  fk∘τ  Treppenfunktionen sind, deren Stufenmengen abgeschlossene Quader in  V  sind, und so dass

[eq:4-12appr]
fk∘τ| detDτ| → f∘τ| detDτ|    in L1(U;Y) .

Dann gilt nämlich aufgrund des oben Bewiesenen

[eq:4-12k]
 
∫
V
 fk(x) dx =
 
∫
U
 (fk∘τ)(y)| detDτ(y)| dy.
Ebenso gilt eq:4-12k dann für  |fk-fl|∘τ , d. h.
[eq:4-12kl]
 
∫
V
 |fk-fl|(x) dx =
 
∫
U
 |fk ∘τ-fl∘τ|  | detDτ| dLn.

Da  fk∘τ| detDτ|  eine CAUCHY-Folge ist, konvergiert die rechte Seite von eq:4-12kl gegen  0  für  k,l → ∞ . Also ist  (fk)k∈N  eine CAUCHY-Folge in  L1(V;Y)  und hat einen Limes  f̃∈L1(V;Y) . Mit Satz satz:2-3 folgt die Existenz einer Teilfolge  (fki)i∈N , so dass  fki → f̃   Ln -fast überall für  i → ∞ . Lemma lemma:4-10 impliziert nun  fki∘τ → f̃∘τ   Ln -fast überall, und somit auch

fki∘τ| detDτ| → f̃∘τ| detDτ|     Ln-fast überall.
Wiederum nach satz:2-3, angewandt auf die Funktionen  fki∘τ| detDτ| , folgt dann
f̃∘τ| detDτ| = f∘τ| detDτ|     Ln-fast überall,
und nach Lemma lemma:4-10, dass
f=f̃    Ln-fasr überall.
Also konvergiert  fk  in  L1(V)  gegen  f . Nun können wir in eq:4-12k von  fk  zu  f  übergehen und erhalten die Aussage eq:4-12.

Es bleibt zu zeigen, dass es eine Folge von Funktionen  fk:U → Y  gibt, für die  fk∘τ  Treppenfunktionen mit abgeschlossenen Quadermengen in  V  als Stufenmengen sind, so dass eq:4-12appr gilt.

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Ausschöpfung durch Kompakta  [fig:trafo-2]

Für  m ∈N  wählen wir nun  Km⊂V  kompakt mit

Km⊂intr(Km+1),    V=
 
∪
m∈N
 Km.
(Siehe Abbildung fig:trafo-2.) Damit gilt (Anwendung von satz:2-3)
ΧKm f∘τ| detDτ| → f∘τ| detDτ|    in L1(V).
Auf jedem  Km  ist  | detDτ|  nach unten durch eine positive Zahl abgeschätzt. Deshalb ist nach dem Majorantenkriterium (Satz satz:3-2,(iii))   ΧKm f∘τ  integrierbar und kann durch Treppenfunktionen  (gm,l)l∈N  approximiert werden. Die Stufenmengen von  gm,l  können als abgeschlossene Quader gewählt werden. Ebenso kann durch Zerlegung ereicht werden, dass für eine Stufenmenge  E  entweder  E∩Km≠∅  und  E⊂Km+1  oder  E∩Km=∅  gilt. Setzt man  gm,l(y)=0  für  y∈E  mit  E∩Km=∅ , so ergibt sich eine bessere Approximation, da   ΧKm (y)f∘τ(y)=0  für  y∉Km . Dies ergibt eine neue Folge  (g̃m,l)l∈N , für die  (g̃m,l∘τ-1)l∈N  eine Approximation von  f  bezüglich der Integralnorm ist. Für eine passende Teilfolge  (g̃m,lm)m∈N  setze
fk:=g̃k,lk∘τ-1.
Nach Konstruktion hat  (fk)k∈N  die gewünschten Eigenschaften.

Den Beweis von eq:4-12a im haben wir als eigene Aussage aus dem Beweis des Transformationssatzes ausgegliedert, da er von eigenem Interesse ist. Die folgende Proposition gibt eine Aussage, wie sich bei einem Diffeomorphismus und einer lokalen linearen Approximation die Bilder der nichtlinearen Abbildung und der linearen Approximation zueinander verhalten.

Proposition    [proposition:4-13]
Es seien  U,V⊂Rn  offen,  τ:U → V  sei ein  C1 -Diffeomorphismus,  K⊂U  kompakt sowie  0<δ≦1/4 . Dann gibt es ein  ϱ>0 , so dass für jede Quadermenge  Q=╳ i=1n[ai,bi]  ⊂K  mit
1
4
 
max
1≦i≦n
 (bi-ai)≦
 
min
1≦i≦n
 (bi-ai)=:r<ϱ,
sowie
ϭ(y):=τ(z)+Dτ(z)(y-z),
wobei  z  das Zentrum von  Q  sei, gilt
ϭ(Q-δ)⊂τ(Q)⊂ϭ(Q+δ).
Bemerkung: Dabei sind das Zentrum eines Quaders sowie die Quader  Q±δ  wie im Beweis des Transformationssatzes (siehe eq:4-zentrum und eq:4-qdelta) definiert.

-*- FIGURE NOT AVAILABLE -*-
Situation in Proposition proposition:4-13  [fig:trafo-3]

Proof. Für  x0,x ∈τ(Qδ)  gilt
τ-1(x)-τ-1(x0)=Dτ-1(x0)(x-x0)+R(x0,x)
und  εs:=sup |x-x0|≦s R (x0,x)/|x-x0| → 0  für  s → 0  kann gleichmäßig in  x0  gewählt werden. Dies ist nichts anderes als die stetige Differenzierbarkeit von  τ-1 . Denn es gibt eine kompakte Menge  K̃⊂V , so dass  τ(Qδ)⊂K̃  für alle Quader  Q⊂K , wenn wir  ϱ  klein genug wählen. Für  y∈Qδ  und  x0:=τ(z)=ϭ(z)  setzen wir   R ̃(y):= R (x0,ϭ(y)) . Dann ist
[equ:tv4]
τ-1(ϭ(y))-z=Dτ-1(x0)(ϭ(y)-ϭ(z)) +R̃(y)=y-z+R̃(y).
Sind  yi  bzw.  zi  die Komponenten von  y  bzw.  z , so gilt
|y-z|≦ sqrt(n)
 
max
i
 |yi-zi| ≦ sqrt(n)(
1
2
 +δ)
 
max
i
 (bi-ai) ≦4 sqrt(n)r,
da  δ≦1/2 , und somit
|ϭ(y)-ϭ(z)|≦||Dτ(z)||  |y-z|≦M·r < M·ϱ,    M:=4
 
sup
z
 ||Dτ(z)||· sqrt(n).
Dann folgt in equ:tv4, dass
|R̃(y)|≦εMϱ·Mr.

1. Für  y ∈Q-δ  gilt für alle  1≦i ≦n :  |(y-z)i|≦(1/2-δ)(bi-ai) . Also folgt

|(τ-1(ϭ(y))-z)i|≦|(y-z)i|+|R̃i(y)| ≦(
1
2
 -δ+εMϱ·M)(bi-ai).
Falls  ϱ  so klein, dass  εMϱ·M ≦δ/2 , so folgt
|(τ-1(ϭ(y))-z)i|≦
1
2
 (bi-ai),
d. h.  τ-1(ϭ(y))∈Q . Das heißt aber  ϭ(y)∈τ(Q) , und deshalb ist  ϭ(Q-δ)⊂τ(Q) .

2. Sei  y ∈∂Qδ . Dann gibt es ein  1≦i≦n  mit  |(y-z)i|≧(1/2+δ)(bi-ai) . Also gilt wie oben

|(τ-1(ϭ(y))-z)i|≧(
1
2
 +δ- εMϱM)(bi-ai)>
1
2
 (bi-ai).
Also ist  τ-1(ϭ(y))∉Q  und deshalb  ϭ(y)∉τ(Q) . Damit haben wir gezeigt, dass  ϭ(∂Qδ)∩τ(Q)=∅ . Wir behaupten, dass daraus folgt
y∈Q ==> τ(y)∈ϭ(intr(Qδ)),
womit  τ(Q)⊂ϭ(Qδ)  bewiesen wäre.

Zu  y∈Q  betrachte die Kurve  γ:[0,1] → Q ,  γ(s):=(1-s)z+sy . Da  ϭ  linear ist, sieht man sofort, dass  W:=ϭ(intr(Qδ))  offen ist mit  ∂W=ϭ(∂Qδ) . Da  τ(Q)∩∂W=∅  folgt

τ∘γ(0)=τ(z)=ϭ(z)∈W,    τ∘γ([0,1])∩∂W=∅.
Da  τ∘γ  stetig ist, folgt  τ∘γ([0,1])⊂W , insbesondere  τ(y)=τ∘γ(1)∈W .

  Dazu :      Da  τ∘γ(0)∈W , ist

s0:=sup {s∈[0,1];  τ∘γ([0,s])⊂W}
wohldefiniert. Da  τ∘γ  stetig und  W  offen ist, ist  s0 > 0 . Wähle eine Folge  sk↗s0  für  k → ∞ . Da  τ∘γ  stetig ist, folgt  τ∘γ(sk) → τ∘γ(s0)∈clos(W) . Da  τ∘γ([0,1])∩∂W=∅ , muss  τ∘γ(s0)∈W  sein. Wäre  s0<1 , so müsste wegen der Stetigkeit von  τ∘γ  auch  τ∘γ(s0+ε)∈W  sein für ein  ε>0 , ein Widerspruch zur Definition von  s0 . Also ist  s0=1  und somit  τ∘γ(1)∈W .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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