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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Convolution

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Convolution of  L1 -functions    [satz:4-7]
Let  ϕ∈L1(Rn;R)  and  f∈L1(Rn;Y) . Then it follows, that for  Ln -almost all  x∈Rn  the convolution  (ϕ∗ f)(x) ,
(ϕ∗ f)(x):=
 
 
∫
Rn
 ϕ(x-y)f(y) dy
is well defined, that is, the integrand in this definition as a function of  y  is in  L1(Rn;Y)  for  Ln -almost all  x∈Rn . Moreover, this defines a function  ϕ∗ f∈L1(Rn;Y)  satisfying the convolution estimate
||ϕ∗ f||L1(Rn) ≦||ϕ||L1(Rn)·||f||L1(Rn).     (submultiplicativity)
In addition, for  Y=R , it follows that
  •  f1 ∗ f2 = f2 ∗ f1         (commutativity),
  •  (f1 ∗ f2)∗ f3 = f1 ∗ (f2 ∗ f3)         (associativity).
This implies, that the space  L1(Rn;R)  with the convolution operator " ∗  " as multiplication is a commutative BANACH-Algebra (see the following definition).

Definition: A vector space  X  over a field  K  is called (commutative) algebra, if on  X  in addition a "multiplication" of vectors is defined (that is, a map  (x,y) |→ xy∈X  from  X×X  to  X ), so that  X  together with its addition of vectors becomes a (commutative) ring. This algebra  X  (with this multiplication) is called BANACH algebra, if  X  is a BANACH space (with norm  x |→ ||x||X ) and the above muliplication is submultiplicative, that is
∀  x,y∈X  : ||xy||X≦||x||X·||y||X .
Easy examples: From Analysis I and Analysis II it is known:
  • The field of real numbers  R  with its multiplication is a BANACH algebra.
  • The field of complex numbers  C  with the multiplication of complex numbers is a BANACH algebra.
  • The 3-dimensional EUKLIDian space  R3  with the vector product (see chapter chap:DifferentialForms)  (x,y) |→ x×y  as multiplication is a BANACH algebra.
  • The space  C0(S)  of continuous functions on a compact set  S⊂Rn  with the supremum norm, together with the multiplication
    (f·g)(x) := f(x)·g(x)      for f,g∈C0(S), x∈S,
    is a BANACH algebra.

Proof von Satz satz:4-7. Die Existenz der Faltung in  L1(Rn;Y)  folgt, wenn wir beweisen, dass
[eq:4-7]
(x,y) |→ ϕ(x-y)f(y) ∈L1(Rn×Rn;Y) .
Denn dann folgt nach dem Satz von FUBINI, dass für fast alle  x  die Funktion  y |→ ϕ(x-y)f(y)  in  L1(Rn;Y)  liegt, also existiert für solche  x 
 
 
∫
Rn
 ϕ(x-y)f(y) dy = (ϕ∗ f)(x) .
Als weitere Folgerung des Satzes von FUBINI ist
ϕ∗ f = ( x |→ 
 
 
∫
Rn
 (ϕ∘τ)(x,y) dy )     in L1(Rn;Y) .

Zur Gleichung eq:4-7: Die Funktion
(x,y) |→ ψ(x,y):=ϕ(x)f(y)
ist  L2n -messbar (siehe sect:4-5) und damit auch die Funktion
(x,y) |→ g(x,y):=|ψ(x,y)|.
Für jedes  x∈Rn  ist
g(x,·)
=
|ϕ(x)|·|f| ∈L1(Rn)
und dann
( x |→ 
 
 
∫
Rn
 g(x,y) dy )
=
|ϕ|·||f||L1(Rn)
integrierbar. Nach dem Satz von TONELLI (siehe satz:4-8 unten) folgt dann  g∈L1(R2n)  und damit nach dem Majorantenkriterium (Satz satz:3-2) auch  ψ∈L1(R2n) .

Als nächstes verwenden wir den weiter unten bewiesenen Transformationssatz satz:4-12 für eine spezielle lineare Transformation (siehe auch Lemma lemma:4-11). Betrachten die lineare Transformation:

τ: R2n
→ 
R2n,     τ(x,y) := (x-y,y)
Die Determinante von  Dτ  ist   det Dτ= 1 . Aus dem Transformationssatz (siehe satz:4-12) folgt dann, dass das LEBESGUE-Integral unter der Transformation  τ  invariant ist. Also ist  ψ∘τ∈L1(Rn×Rn) , wobei
(ψ∘τ)(x,y) = ϕ(x-y)f(y) .
Damit ist eq:4-7 bewiesen.

Wir beweisen nun die Faltungsabschätzung. Da auch  |ϕ|  und  |f|  integrierbar sind, existiert genauso  |ϕ| ∗ |f|  in  L1(Rn;R) . Offensichtlich ist

[eq:4-faltemeister]
|(ϕ∗ f)(x)|≦
 
 
∫
Rn
 |ϕ(x-y)f(y)| dy = (|ϕ| ∗ |f|)(x) .
Mit den obigen Argumentationen (Transformationsatz und Satz von FUBINI) schließt man:
|| ϕ∗ f || L1
=
 
 
∫
Rn
 |(ϕ∗ f)(x)| dx
≦
 
 
∫
Rn
 (
 
 
∫
Rn
 |ϕ(x-y)f(y)| dy ) dx      (nach eq:4-faltemeister)
=
 
 
∫
R2n
 |ψ∘τ| dL2n     (nach FUBINI)
=
 
 
∫
R2n
 |ψ| dL2n     (nach Transformationssatz)
=
 
 
∫
Rn
 |ϕ(x)| dx ·
 
 
∫
Rn
 |f(y)| dy     (nach FUBINI)
=
|| ϕ || L1 · || f || L1 .
Das ist die Faltungsabschätzung.

Nun beweisen wir nacheinander die algebraischen Eigenschaften des Faltungsprodukts für  Y=R . Wieder mit der einfachen Transformation  y |→ x-y  folgt aus dem Transformationssatz

(f1 ∗ f2)(x) =
 
 
∫
Rn
 f1(x-y)f2(y) dy =
 
 
∫
Rn
 f1(y)f2(x-y) dy = (f2 ∗ f1)(x),
womit die Kommutativität gezeigt ist. Nach zweimaliger Anwendung von TONELLI folgt
(x,y,z) |→ f1(x)f2(y)f3(z) ∈L1(R3n)
also nach dem Transformationssatz ( τ(x,y,z):=(x-y,y-z,z)  hat Determinante  1 ) auch
(x,y,z) |→ f1(x-y)f2(y-z)f3(z)∈L1(R3n) .
Nach FUBINI gilt dann für  Ln -fast alle  x∈Rn 
(y,z) |→ f1(x-y)f2(y-z)f3(z)∈L1(R2n)
und für solche  x  gilt dann einerseits weiter mit FUBINI
 
 
∫
R2n
 f1(x-y)f2(y-z)f3(z) d(y,z)
=
 
 
∫
Rn
 f1(x-y) (
 
 
∫
Rn
 f2(y-z)f3(z) dz )  dy
=
 
 
∫
Rn
 f1(x-y)(f2 ∗ f3)(y) dy
=
(f1 ∗ (f2 ∗ f3)) ,
und andererseits ebenfalls mit FUBINI
 
 
∫
R2n
 f1(x-y)f2(y-z)f3(z) d(y,z)
=
 
 
∫
Rn
 f3(z) (
 
 
∫
Rn
 f1(x-y)f2(y-z) dy )  dz .
Mit der Translation  y=z+ỹ  lässt sich das letzte innere Integral auch schreiben als
 
 
∫
Rn
 f1(x-z-ỹ)f2(ỹ) dỹ
=
(f1 ∗ f2)(x-z).
Damit erhalten wir schließlich die Gleichheit
(f1 ∗ (f2 ∗ f3))(x)=((f1 ∗ f2) ∗ f3)(x) .

In the previous proof we have used an approximation argument, which we now formulate as general statement in the following theorem.

Theorem of TONELLI    [satz:4-8]
Consider  Rn=Rn1×Rn2 , that is  x=(x1,x2)  for  x∈Rn ,  x1∈Rn1 ,  x2∈Rn2 . Let  g:Rn → R  with the following properties:
  • [satz:4-8-(1)]  g  is  Ln -measurable and  g≧0 .
  • [satz:4-8-(2)] For  Ln1 -almost all  x1∈Rn1 
    g(x1,·)∈L1(Rn2) .
  • [satz:4-8-(3)] We have
    ( x1 |→ 
     
     
    ∫
    Rn2
    		 g(x1,x2) dx2 ) ∈L1(Rn1).
Then  g∈L1(Rn) .
Consequence: Then for  g  the theorem of FUBINI can be applied.
Proof. Wir approximieren  g  (wie im Beweis von Lemma lemma:4-4) durch
gk(x):= ΧBRk(0) (x)·min (k,g(x))      mit Rk → ∞ für k → ∞.
Dann ist  gk  offensichtlich messbar (siehe sect:3-1) und beschränkt und besitzt einen beschränkten Träger. Es folgt  gk∈L1(Rn)  nach dem Majorantenkriterium (siehe satz:3-2-(iii) und sect:3-3-(ii)). Weiterhin gilt:  gk(x)≦gk+1(x)≦g(x)  für alle  k  und für  Ln -fast alle  x∈Rn  konvergiert  gk(x) → g(x)  für  k → ∞ . Die Voraussetzungen des Satzes über monotone Konvergenz (Satz satz:2-6) sind also erfüllt. Mit dem Satz von FUBINI folgt nun noch
 
 
∫
Rn
 gk(x) dx
=
 
 
∫
Rn1
 (
 
 
∫
Rn2
 gk(x1,x2) dx2 ) dx1
≦
 
 
∫
Rn1
 (
 
 
∫
Rn2
 g(x1,x2) dx2 ) dx1
<
∞
Nach dem Satz über monotone Konvergenz schließen wir, dass  g∈L1(Rn)  und  gk → g  in  L1(Rn)  für  k → ∞ . Dies beweist die Behauptung.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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