Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Gravitational potential

Approximation theorem of WEIERSTRASS

Measurable functions

Index

Gravitational potential

This node has not yet been translated

This is the original german version

Gravitationspotential

Betrachte eine Menge von Massepunkten {y_i∈R³ ; i=1,...,N} mit Massen m_i und sei γ die Gravitationskonstante. Setze

ϕ(x) := -

∑

i=1

γm_i

|x-y_i|

für x ∈R³ . Dann ist

-m∇ϕ(x) = -

∑

i=1

γ·m·m_i

x-y_i

|x-y_i|³

die Gravitationskraft, die auf eine Masse m im Punkt x wirkt.

Ersetzt man nun die diskreten Massenpunkte durch ein Kontinuum, beschrieben durch eine kompakte Menge K und eine Funktion ϱ : K → R , die jedem Punkt y ∈K die Massendichte ϱ(y) zuordnet, dann ist

ϕ(x) = -

∫

ϱ(y)

|x-y|

das zugehörige Gravitationspotential. Da γ eine Konstante ist, kann sie bei den folgenden Betrachtungen vernachlässigt werden, d.h. auf 1 normiert werden.

NEWTON-Potential [satz:3-16]

Sei K ⊂R³ kompakt, ϱ : K → R messbar und beschränkt. Dann existiert für x ∈R³

Φ(x) := -

∫

ϱ(y)

|x-y|

dy .

Proof. Wir setzen

f_x(y) := Χ_K (y)

ϱ(y)

|x-y|

Offensichtlich ist f_x messbar, weil nach Voraussetzung ϱ messbar ist. Da ϱ≦C auf K mit einer Konstanten C ist, folgt

f_x(y) ≦ Χ_K (y)

|x-y|

=: g(y) .

Nun ist g auf beschränkten Mengen trotz der Polstelle integrierbar. Dies folgt aus Beispiel sect:3-3-(iv) bzw. Übungsaufgabe aufgabe:15, wenn man beachtet, dass die Singularität von der Ordung 1 , und damit kleiner die Dimension 3 des Raumes ist. Mit dem Majorantenkriterium (Satz satz:3-2-(iii)) ist deshalb auch f_x integrierbar. Daraus folgt die Behauptung. Zur Stetigkeit von Φ siehe sect:3-17-(iii).

Eigenschaften des NEWTON-Potentials [sect:3-17]

[sect:3-17-(i)] Wir untersuchen nun als Erstes das Verhalten von Φ im Unendlichen. Dafür sei

m₀ :=

∫
K
ϱ(y) dy

die Gesamtmasse in K , und Φ₀(x) := -^m₀/_|x-y₀| das Potential eines Massepunktes in y₀ ∈R³ mit Masse m₀ . Wir behaupten:

Φ(x)

Φ₀(x)
→ 1 für |x| → ∞.

(Dies bedeutet, dass man in großer Entfernung in nullter Näherung die Anziehung durch einen Massenpunkt vorliegen hat. Zur ersten Näherung siehe Übungsaufgabe aufgabe:16.)

[sect:3-17-(ii)] Wir zeigen: Φ ist auf R³∖K unendlich oft differenzierbar und es gilt die Differentialgleichung

ΔΦ= 0 in R³∖K .

d. h. Φ ist harmonisch (harmonische Funktionen werden in Analysis IV definiert, siehe [Analysis IV:Harmonisch] ). Dabei ist

Δ:=
∂²

∂x₁²

+
∂²

∂x₂²

+
∂²

∂x₃²

der LAPLACE-Operator .
Hinweis: Im Beweis wird ausgenutzt, dass Φ : R³∖{0} → R , Φ(x):=¹/_|x| unendlich oft differenzierbar und harmonisch ist.

[sect:3-17-(iii)] Φ ist stetig auf ganz R³ .

[sect:3-17-(iv)] Die folgende Aussage kann mit der bisher entwickelten Theorie noch nicht bewiesen werden: Φ ist stetig differenzierbar auf ganz R³ .
Hinweis: Zum Beweis sei auf Analysis IV (siehe [Analysis IV:Potential] und [Analysis IV:Proposition] ) verwiesen.

[sect:3-17-(v)] Dasselbe gilt für die folgende Aussage: Es gilt

ΔΦ= 4πϱ Χ_K

im Distributionssinne (Grundgleichung der Gravitationstheorie).
Hinweis: Auch dies werden wir in Analysis IV beweisen (siehe [Analysis IV:Potential] ).

[sect:3-17-(vi)] Aus sect:3-17-(v) lässt sich herleiten (siehe wieder [Analysis IV:Potential] ), dass für K := clos(B_R(0)) und ϱ=const. gilt

Φ(x) =

-
4πR²ϱ
3

(
3
2
-
1
2
(
|x|
R
) ² )
für |x|≦R,

-
4πR²ϱ
3

·
R
|x|

für |x|≧R.

x |→ Φ(x) im Fall K=B_R(0) , ϱ=const. [fig:gravitation-1]

Proof sect:3-17-(i). Es ist x=y₀+rξ mit r:=|x-y₀| ∈R und ξ=^x-y₀/_|x-y₀| . Damit ist

|x-y₀|

|x-y|

|rξ+ y₀-y|

|ξ+

y₀-y

sqrt(1+

2ξ•(y₀-y)

y₀-y

|²)

und daher konveregiert ^|x-y₀|/_|x-y| gleichmäßig auf K gegen 1 für |x-y₀|=r → ∞ . Mit dem LEBESGUE'schen Konvergenzsatz (Satz satz:lebesgue) folgt:

Φ(x)

Φ₀(x)

m₀

∫

|x-y₀|

|x-y|

ϱ(y) dy →

m₀

∫

ϱ(y) dy = 1 für |x| → ∞.

Proof sect:3-17-(ii). Wir setzen

h(y,x) :=

Χ_K (y)ϱ(y)

|x-y|

für x ∈R³∖K .

Dann ist h nach x beliebig oft differenzierbar mit

∂

∂x_i

h(y,x) = - Χ_K (y)ϱ(y)

x_i-y_i

|x-y|³

Wir differenzieren h in einer offenen Umgebung V mit V ∩K=∅ . Da K kompakt ist, ist δ:= dist (V,K)>0 und wir gewinnen die Abschätzung

∂

∂x_i

h(y,x) | ≦

δ²

Χ_K (y)ϱ(y) für x∈V, y∈Rⁿ .

Also sind die Ableitungen nach x als Funktion von y integrierbar. Außerdem ist h in y messbar und in x stetig. Damit sind die Voraussetzungen des Differenzierbarkeitssatzes (Satz satz:3-8) erfüllt. Daher ist Φ stetig differenzierbar mit

∂

∂x_i

Φ(x) = -

∫

ϱ(y)

x_i-y_i

|x-y|³

dy .

Eine ähnliche Argumentation liefert die Existenz der höheren Ableitungen. Für die zweiten Ableitungen berechnet man

∂²

∂x_j ∂x_i

h(y,x)=- Χ_K (y)ϱ(y) (

δ_ij

|x-y|³

3(x_i-y_i)

|x-y|⁵

(x_j-y_j) ) , also

∂²

∂x_j ∂x_i

Φ(x)=-

∫

ϱ(y) (

δ_ij

|x-y|³

3(x_i-y_i)(x_j-y_j)

|x-y|⁵

) dy.

Dabei bezeichnet δ_ij das KRONECKER-Symbol. Also gilt

ΔΦ(x)=

∑

i=1

∂²

∂x_i²

Φ(x) =-

∫

ϱ(y) (

|x-y|³

∑

i=1

3(x_i-y_i)²

|x-y|⁵

) dy = 0

Proof sect:3-17-(iii). Sei (x_k)_{k ∈N} mit x_k → x ∈R³ . Wir setzen

h_k(y) :=

Χ_K (y)ϱ(y)

|x_k-y|

und h(y) :=

Χ_K (y)ϱ(y)

|x-y|

Damit ist

Φ(x_k) =

∫

R³

h_k(y) dy

und h_k(y) → h(y) für y ∉{x_k;k∈N}∪{x} . Das heißt, h_k konvergiert fast überall gegen h und es gilt die Abschätzung

|h_k(y)| ≦(

sup

|ϱ|)

Χ_K (y)

|x_k-y|

Mit

g_k(y) :=

Χ_K (y)

|x_k-y|

und g(y) :=

Χ_K (y)

|x-y|

zeigt also Übungsaufgabe aufgabe:20, dass g_k → g in L¹(R³) . Der allgemeine LEBESGUE'sche Konvergenzsatz (Satz satz:lebesgue) impliziert deshalb h_k → h in L¹(R³) , und die Stetigkeit des Integrals liefert die Behauptung.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

Approximation theorem of WEIERSTRASS

Measurable functions

Index