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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Approximation theorem of WEIERSTRASS

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Zunächst folgende Definition in Ergänzung zu Analysis II:

Definition (Polynome im  Rn )    [definition:3-14]
Ein  α∈Zn ,  α=(α1,...,αn) , mit  αi≧0  für  i=1,...,n  heißt Multiindex. Die Länge oder Ordnung von  α  ist definiert durch  |α|:=∑ i=1n αi . Zu jedem Multiindex gehört ein Monom  x=(x1,...,xn) |→ xα  definiert als
xα := x1α1...xnαn .
Ein Polynom  p : Rn → Y  vom Grad  m ∈N  auf dem  Rn  ist definiert als
p(x) :=
 
∑
α: |α|≦m
 xαaα ,
mit  aα ∈Y  und  aα≠0  für mindestens ein  α  mit  |α|=m .
Anmerkung: In dieser Definition kann  Y  irgendein Vektorraum sein. Falls  Y=R , so schreibt man in der Definition üblicherweise  aαxα  statt  xαaα . Die Werte  aα  heißen Koeffizienten der Polynoms.

Wir zeigen nun:

WEIERSTRASS'scher Approximationssatz    [satz:3-15]
Sei  f  : Rn → R  stetig,  K ⊂Rn  kompakt. Dann lässt sich  f  auf  K  gleichmäßig durch Polynome approximieren.

Proof. Sei  K ⊂clos(BR(0))  mit passendem  R>0 . Wähle eine stetige Funktion  η  mit  η=1  auf  clos(BR(0))  und Träger in  B2R(0) . Z.B. genügt
η(x) :=
1
    für |x|<R
2-
|x|
R
    für R≦|x| ≦2R
0
    sonst
diesen Bedingungen. Damit ist  g:=fη  stetig mit kompaktem Träger in  clos(B2R(0)) .

Zu  ϱ>0  und  k ∈N  betrachten wir LANDAU-Kerne  ψk  definiert durch

[equ:t12]
ψk(x) :=
1
 
(ϱck)n
n
∏
i=1
 ( 1- (
xi
ϱ
 
 ) 2 ) k ,     ck :=
1
∫
-1
 (1-t2)k dt .
Offensichtlich sind die  ψk  Polynome. Wir setzen weiter  pk := ψk ∗ g , d. h.
pk(x) :=
 
 
∫
Rn
 ψk(x-y)g(y) dy .
Für jedes  x ∈Rn  ist der Integrand stetig mit kompaktem Träger. Nun sind die  pk  ebenfalls Polynome, denn
ψk(x-y)=
 
∑
|α|≦2kn
 aα(y) xα,
wobei die  aα(y)  Polynome in  y  sind. Also ist
pk(x)=
 
∑
|α|≦2kn
 xα·
 
 
∫
Rn
 aα(y)g(y) dy.
Wir behaupten nun: Falls  ϱ> 3R , so konvergieren die  pk  gleichmäßig gegen  f  auf  BR(0)  für  k → ∞ . Zum Beweis dafür sei
ϕk(x) :=
ψk(x)
    für |xi|≦ϱ,   i=1,...,n
0
    sonst.
Ist  x ∈BR(0)  und  y ∈B2R(0) , so ist  |x-y|≦3R < ϱ . Für solche  x,y  gilt demnach  ψk(x-y)=ϕk(x-y)  und somit, da   supp (g) ⊂B2R(0) :
pk(x)=
 
 
∫
B2R(0)
 ϕk(x-y)g(y) dy = (ϕk ∗ g)(x).
Falls  (ϕk)k ∈N  eine DIRAC-Folge ist, so folgt aus Proposition proposition:3-13, dass  ϕk ∗ g  gleichmäßig auf  Rn  gegen  g  konvergiert. Da  g=f  auf  BR(0)  ist, folgt dann die Behauptung. Es bleibt also noch zu zeigen, dass die  ϕk  eine DIRAC-Folge bilden.

Dazu benötigen wir allerdings einen Spezialfall des Satzes von FUBINI, nämlich dass für eine Funktion

h(x)=h1(x1)·h2(x2)...hn(xn),
wobei alle Funktionen  hi : R → R  stetig mit kompaktem Träger sind, gilt:
 
 
∫
Rn
 h(x) dx=
n
∏
i=1
 (
 
∫
R
 hi(xi) dxi ) .
Den Satz von FUBINI werden wir im nächsten Kapitel beweisen (siehe Satz satz:fubini). Für  h=ϕk  ergibt sich
 
 
∫
Rn
 ϕk(x) dx
=
1
 
(ϱck)n
n
∏
i=1
 
∫
[-ϱ,ϱ]
 ( 1- (
xi
ϱ
 
 ) 2 ) k  dxi
=
(
1
 
ϱck
ϱ
∫
-ϱ
 ( 1- (
t
ϱ
 ) 2 ) k dt ) n
=
(
1
 
ck
1
∫
-1
 (1-t2)k dt ) n
=
1
nach Definition der Konstanten  ck . Außerdem ergibt sich mit
Qr := {x∈Rn ; |xi|<r für i=1,...,n}
und  0<r<ϱ , etwa  r=sϱ  mit  0<s<1 ,
 
 
∫
Qr
 ϕk dLn
=
(
1
 
ϱck
+sϱ
∫
-sϱ
 | 1- (
t
ϱ
 ) 2 | k dt ) n
=
(
s
∫
-s
 (1-t2)k dt



 
1
∫
-1
 (1-t2)k dt



 
 ) n
=
( 1-
1
∫
s
 (1-t2)k dt



 
1
∫
0
 (1-t2)k dt



 
 ) n → 1 für k → ∞,
denn für  s≦t≦1  ist  1-t2≦1-s2  und für  0≦t≦s/2  ist  1-t2≧1- ( s/2 ) 2 , daher
1
∫
s
 (1-t2)k dt



 
1
∫
0
 (1-t2)k dt



 
 ≦
(1-s)(1-s2)k


 
s
2
 ( 1- (
s
2
 ) 2 ) k
 
 =
2(1-s)
s
 (
1-s2


 
1- (
s
2
 ) 2
 
 ) k → 0 für k → ∞.
Damit ist gezeigt, dass
 
 
∫
Qr
 ϕk(x) dx → 1     für k → ∞,
also
 
 
∫
Rn∖Br(0)
 ϕk(x) dx = 1-
 
 
∫
Br(0)
 ϕk(x) dx≧1-
 
 
∫
Qr
 ϕk(x) dx → 0.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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