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Proof.
Obwohl der Beweis recht elementar ist, geben wir eine Beweisschema,
das auch in anderen Situationen anwendbar ist:
Sei B definiert als die Menge der endlichen Vereinigungen
von Mengen in A , auf denen μ
definiert ist, wobei wir annehmen, dass der Durchschnitt
und die Differenz zweier Mengen in A wieder zu A gehört.
Hier ist A die Menge der Intervalle
und hat offensichtlich diese Eigenschaft.
Wir behaupten, dass sich der Beweis auf folgende
Aussage reduziert:
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μ(E) :=
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μ(Ej) ,
falls E∈A, E =
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Ej
mit disjunkten Ej∈A.
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(Diese Eigenschaft ist eine notwendige Bedingung dafür, dass
μ eine additive Erweiterung auf B besitzt.)
Dies geschieht wie folgt:
Aus der Definition von B folgt sofort,
dass die Vereinigung zweier Mengen in B wieder zu B gehört.
Aus der Eigenschaft von A folgt leicht, dass
jedes E ∈B eine (nicht eindeutige) Darstellung
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E =
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Ej mit disjunkten Ej∈A |
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besitzt. Wieder unter Benutzung der Eigenschaft von A folgt
daraus leicht, dass
die Differenz zweier Mengen in B wieder zu B gehört.
Damit ist gezeigt, dass B ein Ring ist.
Nun definiere für E∈B mit obiger Darstellung
Dies ist wohldefiniert, denn mit einer anderen Darstellung
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E =
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Fi mit disjunkten Fi∈A |
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folgt bei zweimaliger Anwendung von eq:1-2-prop
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μ(Fi) =
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μ(Fi∩Ej)
=
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μ(Ej) .
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Außerdem folgt die Additivität von μ̃
sofort aus Definition eq:1-2-def,
ebenso die Tatsache dass μ̃=μ auf A .
Und schließlich muss jede additive Erweiterung von μ
wegen dieser Additivität die Gleichung eq:1-2-def erfüllen.
Dies beweist die Behauptung.
Es ist also im Spezialfall von Intervallen und eq:1-2-1dim
die Eigenschaft eq:1-2-prop
einzusehen.
Sei also E ein Intervall, E=∪ j=1n Ej eine Zerlegung in
paarweise disjunkte Intervalle Ej . E habe die Eckpunkte
a≦b und nach Umordnung der Ej haben diese Eckpunkte
aj≦bj mit
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a = a1 ≦b1 = a2 ≦b2 ...= am ≦bm = b .
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Dann folgt wegen eq:1-2-1dim
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μ(E) = b-a =
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(bj - aj) =
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μ(Ej) .
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