Beispiele von DIRAC-Folgen [examples:dirac]
- [examples:dirac-(i)]
Sei ϕ∈L1(Rn;R) , ϕ≧0 ,
∫ RnϕdLn=1 . Für ε> 0 sei
Für jede Nullfolge (εk)k ∈N
ist dann (ϕεk)k ∈N eine DIRAC-Folge.
- [examples:dirac-(ii)]
Sei E⊂Rn eine LEBESGUEmessbare Menge mit
0<Ln(E)<∞ und setze in examples:dirac-(i)
Mit den gespiegelten skalierten Mengen
Ẽε:= {y∈Rn ; -1/εy∈E }
ergibt dies
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(ϕε ∗ f)(x)
=
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f(x+y)dLn(y) .
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- [examples:dirac-(iv)]
Betrachte den eindimensionalen Fall n=1 und
setze E := [-1,0]⊂R in examples:dirac-(ii).
Dann ist
der
Vorwärtsmittelwert
von f im Punkte x mit Schrittweite ε .
- [examples:dirac-(v)]
Betrachte den eindimensionalen Fall n=1 und
setze E := [0,1]⊂R in examples:dirac-(ii).
Dann ist
der
Rückwärtsmittelwert
von f im Punkte x mit Schrittweite ε .
- [examples:dirac-(vi)]
Oft wird ϕ in examples:dirac-(i)
als unendlich oft differenzierbare Funktion gewählt.
Ein Beispiel ist
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ϕ(x) :=
| | e-|x|2 ,
c :=
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e-|x|2 dx .
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Diese Funktion hat die Eigenschaften in examples:dirac-(i),
ist aber eine Funktion ohne kompakten Träger.
- [examples:dirac-(vii)]
Ein Beispiel von ϕ in examples:dirac-(i)
mit einer unendlich oft differenzierbaren Funktion,
die kompakten Träger hat, ist
Dabei ist
Es gilt ϕ∈L1(Rn) ∩C0∞(Rn) , ϕ≧0 .
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