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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Extension of measures

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We already know the following about the connection between sets and its characteristic functions:  N  is a  μ -null set, if and only if   ΧN =0  almost everywhere, that is, if and only if   ΧN =0  in  L(μ;R) . For general sets we prove:

Theorem    [satz:2-7]
  • [satz:2-7-(i)] If   ΧE ∈L(μ;R) , then there are sets  Ek ∈B ,  k∈N , with
    ΧEk →  ΧE in L(μ;R) for k → ∞.
  • [satz:2-7-(ii)] If   ΧE ∈L(μ;R) , then
    μ*(E) =
     
    ∫
    S
    		 ΧE dμ.
  • [satz:2-7-(iii)] The set  {E⊂S ;  ΧE ∈L(μ;R)}  is a ring, and  μ*  is  ϭ -additive on this ring.
  • [satz:2-7-(iv)] If   ΧEj ∈L(μ;R)  for  j ∈N , then   Χ(∩ j∈NEj) ∈L(μ;R) . If  Ej ⊂E  for all  j ∈N  for some set  E  with   ΧE ∈L(μ;R) , then also   Χ(∪ j ∈NEj) ∈L(μ;R) .

Proof satz:2-7-(i). Es gibt nach Axiom axiom:5 ( T(μ;Y)  dicht in  L(μ;Y) ) eine CAUCHY-Folge  (fk)k∈N  von Treppenfunktionen in  T(μ;Y) , die in   L(μ;Y)  gegen   ΧE   konvergiert. Wir können direkt   || fk- ΧE || L(μ;Y) < 2-k  annehmen, und tun dies auch, da wir andernfalls eine Teilfolge mit dieser Eigenschaft auswählen könnten. Sodann definieren wir eine Folge von Mengen  Ek  durch
Ek := {x∈S ;  fk(x) >
1
2
 } ∈B.
Damit gilt punktweise  | ΧEk - ΧE |≦2|fk- ΧE | . Und mit Satz satz:2-4 folgt   || ΧEk - ΧE || L(μ;Y) ≦2 || fk- ΧE || L(μ;Y) → 0   für  k → ∞ .

Proof satz:2-7-(ii). Die Mengen  Ek  sind wie oben definiert. Nach Satz satz:2-3 gibt es dann eine Nullmenge  N  und eine Teilfolge von Mengen  (Eki)i∈N , so dass   ΧEki (x) →  ΧE (x) , falls  x∈S∖N , wobei ohne Einschränkung  ki≧i  gewählt sei. Nun bedeutet das, dass es, falls  x∈E  bzw. falls  x∉E , ein  j∈N  gibt, so dass  x∈Eki  bzw.  x∉Eki  für alle  i≧j . Damit wird folgende Gleichheit klar:
E∖N =
 
∩
j∈N
 
∪
i≧j
 Eki∖N =
 
∪
j∈N
 
∩
i≧j
 Eki∖N  .
Daraus folgt für alle  j∈N :
E∖N ⊂
 
∪
i≧j
 Eki∖N = Ekj∪
 
∪
i>j
 Eki∖Eki-1  .
So gelangen wir zu einer ersten Abschätzung für das äußere Maß von  E :
μ*(E∖N)
≦
μ(Ekj) +
 
∑
i>j
 μ(Eki∖Eki-1)
=
 
∫
S
 ΧEkj dμ+
 
∑
i>j
 
∫
S
 ΧEki ∖Eki-1dμ
≦
 
∫
S
 ΧEkj dμ+
 
∑
i>j
 (21-ki+21-ki-1)
≦
 
∫
S
 ΧEkj dμ+ 6·2-j  .
Zur vorletzten Ungleichung sei gesagt, dass
 
∫
S
 ΧEki ∖Eki-1 dμ
≦
|| ΧEki - ΧEki-1 || L(μ)
≦
|| ΧEi - ΧE || L(μ) + || ΧEi-1 - ΧE || L(μ)
≦
2 || fki- ΧE || L(μ) + 2 || fki-1- ΧE || L(μ) .
Die Stetigkeit des Integrals impliziert  ∫ S ΧEkj dμ → ∫ S ΧE dμ , woraus aus obiger Abschätzung für  j → ∞  folgt:
μ*(E∖N)≦
 
∫
S
 ΧE dμ , also μ*(E)≦μ*(E∖N)+μ*(N)≦
 
∫
S
 ΧE dμ .

Insbesondere ist also das äußere Maß  μ*(E)  endlich, daher gibt es zu jedem  ε>0  eine Obermenge  F  folgendermaßen:  E⊂F:=∪j∈NFj ,  Fj⊂Fj+1  und

μ*(E)+ε≧
 
lim
j → ∞
 μ(Fj).
Nun konvergiert   ΧFj →  ΧF   punktweise monoton von unten und  ∫ S ΧFj dμ=μ(Fj)  ist beschränkt.

Nach dem Satz über monotone Konvergenz folgt daraus:   ΧF ∈L(μ;R)  und  μ(Fj) → ∫ S ΧF dμ , und damit können wir schließen:

μ*(E)+ε≧
 
∫
S
 ΧF dμ≧
 
∫
S
 ΧE dμ.
Mit  ε → 0  beweist das die Behauptung.

Proof satz:2-7-(iii). Für den Moment bezeichne  M:= {E⊂S ;  ΧE ∈L(μ;R)} . Seien weiterhin   ΧE , ΧF ∈L(μ;R) , dann gibt es nach satz:2-7-(iii) Folgen  Ek, Fk∈B  messbarer Mengen, so dass   ΧEk →  ΧE   und   ΧFk →  ΧF   in   L(μ;Y) . Das führt zu folgenden Überlegungen: Es gilt punktweise in  S 
| ΧEk∩Fk - ΧE∩F |
=
| ΧEk ΧFk - ΧE ΧF |
≦
| ΧEk - ΧE |+| ΧFk - ΧF |
Ebenso gilt dies, wenn wir  E, F  durch  El, Fl  ersetzen, und wenn wir dann integrieren, folgt, dass  ( ΧEk )k∈N  CAUCHY-Folge in  L1(μ;R)  ist. Außerdem gibt es nach Satz satz:2-3 eine Teilfolge, so dass   ΧEki →  ΧE    μ -f.ü. in  S  für  i → ∞ , und dann nach Satz satz:2-3 eine Teilfolge mit   ΧFkij →  ΧF    μ -f.ü. in  S  für  j → ∞ . Aus obiger Ungleichung folgt dann, dass   ΧEkij ∩Fkij →  ΧE∩F    μ -f.ü. in  S  für  j → ∞ . Nach Satz satz:2-3 ist damit gezeigt, dass   ΧE∩F ∈L(μ;R)  und   ΧEk∩Fk →  ΧE∩F   in  L(μ;R)  für  k → ∞ 2.

Dann ist   ΧE∖F = ΧE - ΧE∩F ∈L(μ;R)  und ebenso   ΧE∪F = ΧE + ΧF - ΧE∩F  , das bedeutet, dass die Ringeigenschaften für  M  erfüllt sind.

Es bleibt zu zeigen, dass  μ*  auch  ϭ -additiv auf  M  ist. Sei   ΧE  ,   ΧEj ∈L(μ;R) ,  E=∪j∈NEj ,  Ej⊂Ej+1 . Wir müssen nur zeigen, dass  μ*(E)=lim j → ∞μ*(Ej)  ist. Das folgt aber ganz einfach aus dem Satz über monotone Konvergenz und satz:2-7-(ii), denn   ΧEj (x) →  ΧE (x)  für  j → ∞  für alle  x∈S .

Proof satz:2-7-(iv). Sei  Fk := ∩j=1k Ej ,  Gk := ∪j=1k Ej , dann folgt   ΧFk →  Χ∩j∈NEj   und   ΧGk →  Χ∪j∈NEj   punktweise in  S . Mit dem Satz über monotone Konvergenz kann man dann auch hier auf die Behauptung schließen, wobei im letzteren Fall die Voraussetzung  Ej⊂E  für alle  j∈N  dafür sorgt, dass der zweite Fall im Satz über monotone Konvergenz eintritt.

Definition (Measure space and  ϭ -ring)    [definition:2-8]
Let  S  be a set,  B  a nonempty system of subsets of  S , and  μ : B → [0, ∞]  a mapping. Then the tripel  (S, B, μ)  is called a measure space, if the following properties are satisfied:
  • [definition:2-8-(i)] The system  B  is a  ϭ -ring , that is: For two sets  E, F∈B  also  E∖F∈B , for countably many sets  Ej∈B  with  j∈I⊂N  also the union  ∪ j∈IEj ∈B . (Then also the intersection  ∩ j∈JEj = Ej0∖∪ i∈I∖{j0}(Ej0∖Ej)∈B , where  j0  is any element in  I .)
  • [definition:2-8-(ii)] The mapping  μ  is  ϭ -additive on  B  (see definition:1-6), that is for pair by pair disjoint sets  Ej ,  j∈I⊂N :
    μ(
     
    ∪
    j∈I
    		 Ej) =
     
    ∑
    j∈I
    		 μ(Ej)
  • [definition:2-8-(iii)] Every  μ -null set belongs to  B .
The last property also is called the completeness of the measure space . Note, that our definition of a measure space contains this completeness.
Remark: Since  μ≧0 , is follows that  μ  is monotone. From definition:2-8-(ii) it then follows, that  μ*=μ  on  B , where  μ*  is the outer measure corresponding to  μ . From definition:2-8-(iii) it then follows immeadiately:
N⊂S is μ-null set    <=>    N∈B with μ(N)=0.

Extension of measures    [satz:2-9]
Let  B  be a ring of subsets of  S  and  μ : B → [0,∞[   ϭ -additiv. Let  L(μ;Y)  be the corresponding space of LEBESGUE-integrable functions (see sect:1-8 and satz:1-9, by the remark following satz:2-3 this space is uniquely determined). Then there exists a unique measure space  (S,ext(B),ext(μ))  with the properties
  •  ext(B)  is the smallest  ϭ -ring containing  B  and all  μ -null sets.
  •  ext(μ)  satifies  ext(μ) = μ  on  B .
This measure space is given by
[eq:2-9ring]
ext(B) = {
 
∪
j∈I
 Ej  ;  I a countable set and ΧEj ∈L(μ;R)} ,
[eq:2-9measure]
ext(μ) = μ*|ext(B)

Proof. Sei  ext(B)  wie in eq:2-9ringdefiniert. Dass  B⊂ext(B) , ist klar, denn für jedes  E∈B  ist natürlich   ΧE ∈L(μ;Y) . Wir beweisen nun zuerst, dass  ext(B)  ein  ϭ -Ring ist. Dazu definieren wir ein Mengensystem  A  folgendermaßen:
A:= {E⊂S ;  ΧE ∈L(μ;R)}.
Satz satz:2-7 besagt dann, dass  A  ein Ring ist. Außerdem ist  ext(B)  gerade das System der abzählbaren Vereinigungen von Mengen aus  A . Man sieht eq:2-9ringauch sofort an, dass  ext(B)  unter Bildung von abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist. Um die Abgeschlossenheit bei Differenzbildung einzusehen, betrachten wir zwei beliebige Mengen  E=∪ j∈J Ej  und  F=∪ i∈I Fi  aus  ext(B) , wobei  I, J⊂N  und  ∀i, j :   ΧEj , ΧFi ∈L(μ;R)  gilt. Damit sind jeweils auch  Ej∖Ei ∈A  und nach Satz satz:2-7-(iv) auch  ∪ i∈IEj∖Fi∈A . Damit folgt:
E∖F =
 
∪
j∈J
 (
 
∩
i∈I
 Ej∖Fi ) ∈ext(B).

Nun wollen wir die  ϭ -Additivität von  μ*  auf  B  zeigen. Sei wiederum  E=∪ j∈NEj∈ext(B)  mit  Ej∈A . Da  A  ein Ring ist, können wir o.B.d.A. annehmen, dass  Ej⊂Ej+1 . Damit gilt   ΧEj ≦ ΧEj+1   und  lim j → ∞ ΧEj (x) = ΧE (x)  für alle  x∈S . Aus dem Satz satz:2-7 folgt  μ*(Ej) = ∫ S ΧEj dμ  und nach dem Satz über monotone Konvergenz satz:2-6 gibt es in diesem Falle zwei Möglichkeiten: Entweder ist jetzt  μ*(Ej) → ∞  für  j → ∞ , woraus wegen der Monotonie von  μ*  folgt:  μ*(E) = +∞ , d. h.  E∉A  oder es gilt:

μ*(Ej) =
 
∫
S
 ΧEj dμ → 
 
∫
S
 ΧE dμ= μ*(E) < ∞    und E∈A.
Damit ist also gezeigt, dass für alle  E∈ext(B)  gilt:
  • entweder  E∉A  und  μ*(E) = +∞ ,
  • oder  E∈A  und  μ*(E) = ∫ S ΧE dμ .
Daraus folgt ganz einfach, dass  μ*  auf  ext(B)  additiv ist (wozu nur die Additivität des Integrals ausgenutzt wird). Zum Beweis der  ϭ -Additivität sei nun
E :=
 
∪
j∈N
 Ej ∈ext(B) mit disjunkten Ej∈ext(B) .
(Beachte, dass nun im Gegensatz zu oben die Mengen  Ej  nicht Elemente von  A  zu sein brauchen.) Daher die folgende Fallunterscheidung.

1. Fall:     Ej∉A  für ein  j . Dann ist  μ*(Ej)=∞  und wegen der Monotonie von  μ*  auch  μ*(E)=∞ , also

μ*(E) = ∞=
∞
∑
j=1
 μ*(Ej).

2. Fall:     Ej∈A  für alle  j∈N . Dann sind auch

Ẽj:=
 
∪
i≦j
 Ei∈A.
Wir können dann obige Argumentation auf  E=∪ j∈NẼj ,  Ẽj⊂Ẽj+1 , anwenden und erhalten
μ*(E)
=
 
lim
j → ∞
 μ*(Ẽj) =
 
lim
j → ∞
 
∑
i≦j
 μ*(Ei) =
∞
∑
i=1
 μ*(Ei).
Damit ist die  ϭ -Additivität gezeigt. Dass  μ*=μ  auf  B  gilt, war zu Beginnn des Kapitels vorausgesetzt.

Wir zeigen jetzt, dass jede  μ -Nullmenge eine  ext(μ) -Nullmenge ist, und im Anschluss daran auch die Umkehrrichtung. Sei  N  also eine  μ -Nullmenge, d. h.  μ*(N)=0 . Dann ist   ΧN = 0   μ -f.ü. und damit   ΧN ∈L(μ;R) , woraus folgt:  N∈A⊂ext(B)  mit  ext(μ)(N) = μ*(N) = 0 . Ist  N  jetzt eine  ext(μ) -Nullmenge, dann bedeutet das: Für jedes  ε>0  gibt es eine Überdeckung  N⊂∪ j∈J Ej ,  J⊂N , von abzählbar vielen Mengen  Ej∈ext(B) , so dass

 
∑
j∈J
 ext(μ)(Ej) ≦ε.
Da  μ*=ext(μ)  auf  ext(B) , gilt nun auch

ε≧
 
∑
j∈J
 ext(μ)(Ej) =
 
∑
j∈J
 μ*(Ej) ≧μ* (
 
∪
j∈J
 Ej ) ≧μ*(N)
Und weil  ε>0  beliebig war, muss  N  eine  μ -Nullmenge sein.

Wir haben also gezeigt, dass  ext(B)  ein  ϭ -Ring ist, auf dem  ext(μ) := μ* | ext(B)   ϭ -additiv und eine Fortsetzung von  μ  auf  B  ist. Weiter haben wir gesehen, dass  ext(B)  alle  μ -Nullmengen enthält. Da, wie gezeigt, die  μ -Nullmengen identisch mit den  ext(μ) -Nullmengen sind, ist auch gezeigt, dass  (S, ext(B), ext(μ))  ein (vollständiger) Maßraum ist.

Zur Eindeutigkeit:    Sei nun  (S,B̃,μ̃)  irgendein Maßraum mit den postulierten Eigenschaften:  B̃  ist kleinster  ϭ -Ring, der  B  und die  μ -Nullmengen enthält und  μ̃=μ  auf  B̃ .

Wir zeigen  B̃=ext(B) : Jedes  E∈A  hat nach dem Beweis von satz:2-7-(ii) eine Darstellung

E∖N =
 
∩
j∈N
 
∪
i≧j
 Ei∖N
mit  Ei∈B  und einer  μ -Nullmenge  N . Da  Ei∖N∈B̃ , ist die rechte Seite in  B̃ , und damit  E∖N∈B̃ . Da  E∩N⊂N   μ -Nullmenge, also in  B̃ , dann auch  B̃ . Also  A⊂B̃  und damit auch  ext(B)⊂B̃ . Da  B̃  aber der kleinste  ϭ -Ring mit den angegebenen Eigenschaften ist, folgt  B̃=ext(B) .

Wir zeigen  μ̃=ext(μ) : Es ist  μ̃ =μ=ext(μ)  auf  B  nach Voraussetzung. Da  μ̃   ϭ -additiv ist, lässt sich damit leicht zeigen, dass  μ̃(N)=ext(μ)(N) = 0  auf  μ -Nullmengen. Für  E∈A  folgt dann mit obiger Darstellung von  E  leicht, dass  μ̃=ext(μ)  auf  A . Dann ist auch  μ̃=ext(μ)  auf  ext(B) .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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