Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Properties of the LEBESGUE measure on Rn

Properties of the modulus of a function

Measurable sets

Proof of the theorem

Index

Properties of the LEBESGUE measure on Rⁿ

This node of the script is an incomplete english translation

You may switch to the original german version:

Definition (The space C₀⁰(Ω;Y) )

Let Y be a complete normed space, and Ω⊂Rⁿ an open set. Then C₀⁰(Ω;Y) is defined as the set of continuous functions f : Ω → Y , whose support is a compact subset of Ω . The support of a function f on Ω is the closure of the set {x∈Ω ; f(x)≠0} . We denote the support of f also by supp (f) .

Obviously C₀⁰(Ω;Y) is a vector space.

Properties of the LEBESGUE measure in Rⁿ [satz:2-5]

Let μ be the elementary LEBESGUE measure on S:=Rⁿ . Then the following holds:

[satz:2-5-(i)] C₀⁰(Rⁿ;Y)⊂L(μ;Y) .

[satz:2-5-(ii)] C₀⁰(Rⁿ;Y) is dense in L(μ;Y) .

[satz:2-5-(iii)] Let n=1 . Then every RIEMANN integrable function (see Analysis I) f on a closed interval [a,b]⊂R is LEBESGUE integrable and

b
∫
a
f(x) dx =

∫
R
f· Χ_[a,b] dμ.

Proof satz:2-5-(i). Sei

Q_δ(z) := ╳ _i=1ⁿ [ δz_i-

, δz_i+

[ für z ∈Zⁿ.

Da f ∈C₀⁰(Rⁿ;Y) , ist supp f ⊂Q_R(0) für passendes R ∈R . Wir definieren nun zu δ eine Treppenfunktion durch

f_δ :=

∑

z∈Zⁿ

f(δz) Χ_{Q_δ(z)} .

f_δ ist eine Treppenfunktion, denn nur für endlich viele z∈Zⁿ gilt f(δz)≠0 . Zu δ> 0 setzten wir

ε_δ :=

sup

||x₁-x₂||_∞≦δ

|f(x₁)-f(x₂)|

(wobei x |→ ||x||_∞ die Maximumnorm im Rⁿ bezeichnet). Aus der gleichmäßigen Stetigkeit von f folgt ε_δ → 0 für δ → 0 . Ferner ist

|f_δ-f|≦ε_δ und

|f_δ₁-f_δ₂|≦|f_δ₁-f|+|f_δ₂-f| ≦(ε_δ₁+ε_δ₂) Χ_{Q_R+1(0)} .

Satz satz:2-4-(iii) impliziert daher, wenn δ₁,δ₂ ≦1 ,

|| f_δ₁-f_δ₂ || _L(μ) ≦(ε_δ₁+ε_δ₂)μ(Q_R+1(0)),

Denn für δ≦1 ist f_δ=0 außerhalb von Q_R+1(0) . Wähle nun eine Nullfolge (δ_k)_k . Dann ist (f_{δ_k})_k eine CAUCHY-Folge in L(μ;Y) , und f_{δ_k}(x) → f(x) für k → ∞ und alle x ∈Rⁿ . Mit Satz satz:2-3 folgt f ∈L(μ;Y) und f_{δ_k} → f ∈L(μ;Y) .

Proof satz:2-5-(ii). Nach Axiom axiom:5 lässt sich jede integrierbare Funktion durch Treppenfunktionen approximieren, deshalb reicht es satz:2-5-(ii) für Χ_E mit E Quadermenge zu zeigen. Sei also ]a,b[⊂E ⊂[a,b] . Setze

f_ε(x) := max (0,1-

dist(x,E)) .

Damit ist f_ε ∈C₀⁰(Rⁿ;R)⊂L(μ;Y) . Sei nun Q:=]a,b[ und Q_ε:=╳ _i=1ⁿ[a_i-ε,b_i+ε] . Dann folgt |f_ε- Χ_E |≦ Χ_{Q_ε∖Q} und Satz satz:2-4zeigt, dass

|| f_ε- Χ_E || _L(μ) ≦

∫

Rⁿ

Χ_{Q_ε∖Q} dμ= μ(Q_ε)-μ(Q) → 0 für ε → 0 .

Proof satz:2-5-(iii). Sei f RIEMANN-integrierbar auf [a,b]⊂R , und f(x)=0 für x außerhalb von [a,b] . Also ist f beschränkt mit I := ∫ _{a *}^b f(x)dx = ∫ _a^{b *} f(x)dx (Definition 5.4, Analysis I). Es bezeichne für den Moment

T_a,b := {g ∈T(μ;R) ; g=0 außerhalb [a,b]}.

Es gibt also f_k^*, f_{k *} ∈T_a,b , so dass f_k*≦f ≦f_k^* und ∫ _R f_k*dμ → I , ∫ _R f_k^*dμ → I für k → ∞ . Für

g_k* :=

max

1≦j≦k

f_j* , g_k^*:=

min

1≦j≦k

f_j^*

gilt deshalb ebenfalls

∫

g_k*dμ → I,

∫

g_k^* dμ → I,

außerdem nach Konstruktion

g_k*≦g_{k+1 *} ≦f ≦g_k+1^* ≦g_k^*.

Setze g_*(x):= lim _{k → ∞}g_k*(x) und g^*(x):=lim _{k → ∞}g_k^*(x) . Mit dem Satz über monotone Konvergenz (siehe satz:2-6), der im Anschluss beweisen wird, folgt g_* ∈L(μ;R) und ∫ _Rg_*dμ= lim _{k → ∞}∫ _Rg_k^*dμ , das Gleiche für g^* . Also ist ∫ _Rg_*dμ= I = ∫ _Rg^*dμ .

Nun ist die Ungleichung g_*≦f ≦g^* punktweise erfüllt. Es ist also g^*-g_* ≧0 . Mit Satz satz:2-4 folgt

|| g^*-g_* || _T(μ) =

∫

|g^*-g_*|dμ=

∫

g^*dμ-

∫

g_*dμ= 0.

Axiom axiom:1 impliziert g^*=g_* in L(μ;R) , d. h. g_*=f=g^* μ -fast überall. Nach Axiom axiom:0 ist deshalb auch f∈L(μ;R) und ∫ _Rfdμ= I .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

Properties of the modulus of a function

Measurable sets

Proof of the theorem

Index