 | Properties μ -almost everywhere |
 | LEBESGUE Integral |
 | LEBESGUE measure on Rn |
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Theorem [sect:1-7] Let T(μ;Y) the vector space of step functions with the above equivalence relation. Assume that eq:1-essential is satisfied. Then the following holds: |
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Proof sect:1-7-(i).
Sind A,B ∈B und N∈B eine
μ -Nullmenge, so folgt μ(A)=μ(B) aus
A∖N=B∖N . Denn A⊂N ∪B impliziert
μ*(A) ≦μ*(N) + μ*(B) . Da N eine Nullmenge ist, gilt
μ*(A)≦μ*(B) . Ebenso lässt sich μ*(B) ≦μ*(A)
zeigen, also ist μ*(A) = μ*(B) .
Sei nun f ∈T(μ;Y) mit || f || T(μ)=0 , und sei f=∑ j=1m ΧEj yj die eindeutige Darstellung von f . Da die yj ≠0 sind, folgt
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| Proof sect:1-7-(ii). Es ist nachzuweisen, dass das Integral unter der Äquivalenzrelation wohldefiniert ist. Sei also f=g in T(μ;Y) . Wir haben zu zeigen, dass ∫ S f dμ= ∫ S g dμ . Ohne Einschränkung kann man annehmen, dass g=0 , und f=∑ j=1m ΧEj yj sei die eindeutige Darstellung von f . Es gibt eine μ -Nullmenge N ⊂S , so dass f(x)=0 für x∈S∖N . Also ist Ej ⊂N für j=1,...,m . D. h. μ*(Ej)=0 , also μ(Ej)=0 . Hier wurde die Eigenschaft eq:1-essential benutzt. Daraus folgt ∫ S f dμ= 0 . |
Zum Schluss dieses Abschnittes wollen wir uns die bisherigen Ergebnisse an einem Beispiel verdeutlichen:
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Beispiel Sei S=N , und B sei der Ring aller endlichen Teilmengen von N . μ : B → [0,∞) sei das Zählmaß auf S . Die Abbildungen f : N → Y sind gerade die Folgen (yi)i∈N mit yi:=f(i) in Y . Es ist f ∈T(μ;Y) genau dann, wenn ∃ m ∈N : yi=0 für i ≧m . Das Integral von f ist dann ∫ S f dμ= ∑ i=1m yi , und die Norm von f ist || f || T(μ)=∑ i=1m |yi| . Betrachten wir nun eine beliebige Folge (yi)i ∈N in Y . Wann konvergiert die Reihe ∑ i=0∞yi absolut? Um die Frage zu beantworten, definieren wir fm(i):=yi für i ≦m und f(i)=0 für i>m . Damit gilt für m > k :
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