Exercise 11 (Konvergenz in  L(μ;Y)  und punktweise Konvergenz) Exercise 11 (Konvergenz in  L(μ;Y)  und punktweise Konvergenz)
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Exercise 13 (Verhalten des Integrals bei Streckungen) Exercise 13 (Verhalten des Integrals bei Streckungen)
Exercise 13 (Verhalten des Integrals bei Streckungen) Index
© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Exercise 12 (Uneigentliche RIEMANN-Integrale und LEBESGUE-Integral)

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Uneigentliche RIEMANN-Integrale und LEBESGUE-Integral    [aufgabe:12]
Sei wieder  L1  das elementare LEBESGUEmaß auf  S=R .
  • [aufgabe:12-(a)] Sei  a∈R  und  f : [a,∞[ → R ,  f≧0 , über jedem Intervall  [a,R]  RIEMANN-integrierbar und es existiere das uneigentliche RIEMANN-Integral
    ∞
    ∫
    a
    		 f(x) dx
    =
     
    lim
    R → ∞
    R
    ∫
    a
    		 f(x) dx.
    Zeigen Sie, dass  f Χ[a,∞[   dann auch LEBESGUE-integrierbar ist mit
     
    ∫
    R
    		 f Χ[a,∞[ dL1
    =
    ∞
    ∫
    a
    		 f(x) dx.
  • [aufgabe:12-(b)] Seien  a, b∈R  und  f : ]a,b] → R ,  f≧0 , über jedem Intervall  [a+ε,b]  mit  0<ε<b-a  RIEMANN-integrierbar und es existiere das uneigentliche RIEMANN-Integral
    b
    ∫
    a
    		 f(x) dx
    =
     
    lim
    ε↘0
    b
    ∫
    a+ε
    		 f(x) dx.
    Zeigen Sie, dass  f Χ]a,b]   dann auch LEBESGUE-integrierbar ist mit
     
    ∫
    R
    		 f Χ]a,b] dL1
    =
    b
    ∫
    a
    		 f(x) dx.
Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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