Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Exercise 2 (Treppenfunktionen)

Exercise 1 (Variationsmaß)

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Exercise 3 (Nullmengen)

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© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Exercise 2 (Treppenfunktionen)

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Treppenfunktionen [aufgabe:2]

Im folgenden sei T(L^k) der Raum der Treppenfunktionen bezüglich (R^k,B,L^k) mit dem Ring

B:= {E⊂R^k ;

E ist endliche Vereinigung

disjunkter, halboffener Quader }

und dem elementaren LEBESGUE-Maß L^k auf B . Sei f : R^m+n=R^m×Rⁿ → R , (x,y) |→ f(x,y) , eine Treppenfunktion aus T(L^m+n) . Zeigen Sie:

[aufgabe:2-(a)] Für alle x∈R^m ist die Funktion y |→ f(x,y) Treppenfunktion aus T(Lⁿ) .

[aufgabe:2-(b)] Die Funktion g : R^m → R , g(x):=∫ _Rⁿ f(x,·) dLⁿ ist Treppenfunktion aus T(L^m) .

[aufgabe:2-(c)] Es gilt ∫ _R^m+n f dL^m+n = ∫ _R^m g dL^m .

Erläuterung: Diese Aufgabe soll als Motivation zum Satz von Fubini dienen.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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