Prof. Hans Wilhelm Alt: Script Analysis III -- Outer measure and null sets

Definition (sigma-additivity)

LEBESGUE Integral

Properties μ -almost everywhere

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Outer measure and null sets

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Outer measure [sect:1-5]

Let S be a set, B a ring over S and μ : B → [0,∞] additive. Then

μ^* : P(S) → [0,∞]

is defined by

μ^*(A) := inf {

∑

j ∈N

μ(E_j) ; N ⊂N, E_j ∈B, A ⊂

∪

j ∈N

E_j }

for A ⊂S . μ^* is called outer measure with respect to μ . In this definition the infimum is infinite, if there exists no covering of A , or if all sums in the definition equal +∞ . If wanted, one can add empty sets ∅ to the definition (we have μ(∅)=0 ), in order to replace N by N=N .

A subset A ⊂S is called μ -null set, if μ^*(A)=0 . Some elementary properties about the outer measure are:

Properties of the outer measure. Let B be a ring of subsets of S , μ an additive measure on B and μ^* the outer measure of μ . Then

[sect:1-5-(i)] μ^*(∅)=0 and μ^* is monotone, that is μ^*(A') ≦μ^*(A) for A' ⊂A .

[sect:1-5-(ii)] μ^* is ϭ -subadditive.

[sect:1-5-(iii)] Countable unions of μ -null sets are μ -null sets.

[sect:1-5-(iv)] Every subset of a μ -null set is a μ -null sets.

[sect:1-5-(v)] Another formula for the outer measure is

μ^*(A)=inf {

lim
j → ∞
μ(E_j) ; E_j∈B for j∈N, E_j⊂A, E_j⊂E_j+1}.

Proof sect:1-5-(i). Nach Definition von μ^* ist μ^*(A)≦μ(A) für A ∈B . Überdecke A durch die Menge A selbst. Da μ(∅)=0 , folgt μ^*(∅)=0 . Die Monotonie von μ^* folgt unmittelbar aus der Definition, da jede Überdeckung von A auch eine Überdeckung von A' ist.

Proof sect:1-5-(ii). Sei (A_k)_{k ∈N} eine Folge von Teilmengen von S . Ist μ^*(A_k) = ∞ für ein k , so ist die Aussage trivialerweise erfüllt. Wir können also μ^*(A_k)<∞ für alle k annehmen. Dann gilt: Zu ε> 0 und für alle k gibt es E_k,j ∈B , so dass

A_k ⊂

∪

j∈N

E_k,j

mit

∑

j∈N

μ(E_k,j) ≦μ^*(A_k) + ε·2^-k .

Die Existenz einer solchen Überdeckung für vorgegebenes ε>0 folgt aus der Definition von μ^* als Infimum aller ∑ _jμ(E_j) von Überdeckungen {E_j}_j .

Für A := ∪ _{k ∈N}A_k gilt dann A⊂∪ _{k,j
∈N}E_k,j . Also ist

μ^*(A)

≦

∑

k,j ∈N

μ(E_k,j)

≦

∑

k ∈N

(μ^*(A_k)+ ε·2^-k)

∑

k ∈N

μ^*(A_k) + ε

Für ε → 0 folgt die Behauptung.

Proof sect:1-5-(iii). Seien A_j, j ∈N Nullmengen. Dann impliziert sect:1-5-(ii), dass

μ^* (

∪

j ∈N

A_j ) ≦

∑

j ∈N

μ^*(A_j)=0.

Proof sect:1-5-(iv). Dies folgt aus der Monotonie von μ^* .

Proof sect:1-5-(v). Der Beweis dieser Aussage wird als Übungsaufgabe aufgabe:6 gestellt.

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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