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CAUCHY's theorem Index
© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Integration of differential forms

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Wir definieren das Integral von Differentialformen über orientierbare Flächen in einer parametrisierungsunabhängigen Weise und geben diese Integrale dann in lokalen Koordinaten an.

Definition (Orientierung einer Fläche)    [sect:9-16]
Ist  M  eine  m -dimensionale  C1 -Fläche im  Rn ,  1≦m≦n , so heißt  M  orientierbar, falls es eine stetige Abbildung
o  : M → Λm(Rn)
gibt, so daß  o(x)  für  x∈M  eine Orientierung von  Tx(M)  gemäß Definition sect:9-11 ist. Dann heißt  (M,o)  eine orientierte Fläche .
Folgerung: Dazu sei bemerkt: Es gibt entweder keine oder genau zwei Orientierungen. Lokal existiert immer eine Orientierung.

Definition (Integral von Differentialformen)    [sect:9-17]
Sei  (M,o)  eine orientierte  m -dimensionale  C1 -Fläche im  Rn . Sei  G⊂Rn  offen mit  M⊂G  und  ω  eine  C0 -Differentialform auf  G  vom Grad  m , d. h.  ω∈C0(G;Λm(Rn)) , dann erklären wir das Integral von  ω  über  (M,o)  durch
 
∫
(M,o)
 ω:=
 
∫
M
 〈ω(x),o(x)〉dHm(x) ,
falls  〈ω,o 〉  eine  Hm -integrierbare Funktion ist.

Proposition    [sect:9-18]
Sei  (M,o)  wie in sect:9-17 und sei  γ : D → M  eine lokale Parametrisierung,  D⊂Rm  offen und zusammenhängend, die die Orientierung erhält (Orientierungstreue), d. h.
(∂1 γ(y)∧...∧∂mγ(y))•o(γ(y))>0.
Falls   supp (ω)∩M  kompakte Teilmenge von  γ(D)  ist, so gilt
 
∫
(M,o)
 ω=
 
∫
D
 ω(γ(y))(∂1γ(y),...,∂m γ(y)) dLm(y).
Bemerkung: Für eine beliebige lokale Parametrisierung  γ : D → M  mit zusammenhängendem  D  ist obiges Skalarprodukt entweder immer positiv (orientierungstreuer Fall) oder immer negativ auf  D . Im zweiten Fall gilt die Behauptung mit einem Minuszeichen auf der rechten Seite der Identität.

Proof. Sei  o(x) = τ1(x)∧...∧τm(x)  mit einer Ortonormalbasis  {τ1(x),...,τm(x)}  von  Tx(M)  und  x=γ(y) . Da  {∂1γ(y),...,∂mγ(y)}  eine Basis von  Tx(M)  ist, gilt nach sect:9-7-(4) für jede Parametrisierung
∂1γ(y)∧...∧∂mγ(y) = a(y)τ1(x)∧...∧τm(x) = a(y) o(x)
mit  a(y)≠0 . Da  o  stetig und  γ  stetig differenzierbar ist, muss  a  stetig sein. Da  D  zusammenhängend ist, ist daher entweder  a>0  auf  D  (dann sei  ϭ:=1 ) oder  a<0  auf  D  (dann sei  ϭ:=-1 ). Also ist
| ∂1γ(y)∧...∧∂mγ(y) |  o(x)
=
|a(y)| o(x)
=
ϭ·a(y) o(x)
=
ϭ∂1γ(y)∧...∧∂mγ(y) ,
und daher
 
∫
(M, o)
 ω
=
 
∫
M
 〈ω(x),o(x)〉dHm(x)
=
 
∫
D
 〈ω∘γ(y),o∘γ(y)〉 | ∂1γ(y)∧...∧∂mγ(y) | dLm(y)
=
ϭ
 
∫
D
 〈ω(γ(y),∂1γ(y)∧...∧∂mγ(y)〉dLm .

Folgerung    [sect:9-19]
Seien  ω  und  γ  orientierungstreu wie oben. Ist
ω=
 
 
∑
i∈In,m
 ωidxi1∧...∧dxim,
so schreibt sich die Identität in sect:9-18 als
 
∫
(M, o)
 
 
∑
i∈In,m
 ωidxi1∧...∧dxim
=
 
∫
D
 
∑
i
 ωi∘γ(y)
∂(γi1,...,γim)
 
∂(y1,...,ym)
 
  dLm(y)
=
 
 
∫
(D, o+)
 
∑
i
 ωi∘γdγi1∧...∧dγim.
Proof. Der Integrand auf der rechten Seite in sect:9-18 ist wegen  dxi=ei* 
ω∘γ(∂1γ,...,∂mγ) =
 
 
∑
i∈In,m
 ωi∘γ
 

(ei1*∧...∧eim*)(∂1γ,...,∂mγ)
=:ci
,
wobei nach sect:9-9 und sect:9-14
ci
=
(ei1∧...∧eim) •(∂1γ∧...∧∂mγ)
=
det(∂lγik)k,l=1,...,m
=
∂(γi1,...,γim)
 
∂(y1,...,ym)
 
 .
Außerdem ist nach Definition sect:9-17
 
 
∫
(D, o+)
 
 
∑
i∈In,m
 ωi∘γdγi1∧...∧dγim
=
 
∫
D
 
∑
i
 ωi∘γ
 

(dγi1 ∧...∧dγim)(e1,...,em)
=: c̃i
 dLm,
wobei nach sect:9-14
c̃i =
∂(γi1,...,γim)
 
∂(y1,...,ym)
 


(e1*∧...∧em*)(e1,...,em)
=1
 = ci.

Wir geben nun einige spezielle Fälle an, wobei wir immer implizit eine Integrierbarkeitseigenschaft voraussetzen.

Beispiel ( m=n )    [sect:9-20]
Sei  ω= f dx1∧...∧dxn  eine  n -Form auf  Rn . Dann ist
 
 
∫
(Rn,o+)
 ω
=
 
 
∫
Rn
 f〈e1*∧...∧en*, e1 ∧...∧en〉dLn
=
 
 
∫
Rn
 f(x) dx  ,
also nach dem Satz von FUBINI
 
 
∫
(Rn,o+)
 f dx1∧...∧dxn =
 
∫
R
 ...
 
∫
R
 f(x) dx1...dxn  ,
wobei wir auf der rechten Seite die übliche Bezeichung für das LEBESGUE-Integral verwenden.

Beispiel ( m=1 )    [sect:9-21]
Sei  γ : I → M  eine Parametrisierung eines  C1 -Kurvenstücks  M⊂Rn , also  M=γ(I) . Definiere die Orientierung von  M  durch
τγ(x) :=
γ'(t)
|γ'(t)|
     für x=γ(t) .
Ist  ω  eine  1 -Form mit  ω= ∑ i=1naidxi , so ist
 
 
∫
(M,τγ)
 ω
=
 
∫
M
n
∑
i=1
 ai
 

〈dxi,τγ〉
=ei•τγ
 dH1
=
 
∫
I
n
∑
i=1
 ai(γ(t))γ'(t) dL1(t)
(=
 
 
∫
(I,o+)
n
∑
i=1
 ai∘γ dγi),
also
 
 
∫
(M,o+)
n
∑
i=1
 aidxi =
 
∫
I
n
∑
i=1
 ai∘γ(t)γi'(t) dt,
wobei wir auf der rechten Seite die übliche Bezeichnung für das LEBESGUE-Integral verwenden.

Beispiel ( n=2 ,  m=1 )    [sect:9-22]
Sei  Ω=R2≅C . Für die Abbildungen
z : C → C,
    (x1,x2) |→ x1+i x2 ,
conj(z) : C → C,
    (x1,x2) |→ x1-i x2
gilt
dz = dx1+i dx2     und    d conj(z) = dx1-i dx2 .
Ist  M⊂R2  und  γ  wie in sect:9-21, so gilt für jede Funktion  f : M → C  nach sect:9-21
 
 
∫
(M,τγ)
 f dz =
 
∫
I
 f(γ(t))(γ1'(t)+i γ2'(t)) dt =
 
∫
I
 f(γ(t))γ'(t) dt  .

Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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