Kurven und Graphen Kurven und Graphen
Partial integration on surfaces Partial integration on surfaces
Beweis zur Variation des Flächeninhalts Beweis zur Variation des Flächeninhalts
Beweis zur Variation des Flächeninhalts Index
© 2001-2007 Prof. Dr. Hans Wilhelm Alt, University Bonn, Germany

Beweis des Satzes von STOKES

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Proof satz:8-8. Wende den GAUSS'schen Satz satz:8-5 auf Flächen für  f:=a ×ν  an. Dabei ist  f  tangential, und  ν  ist stetig differenzierbar auf der Fläche, denn man kann lokal  C1 -Tangentialfelder  τ1,τ2  wählen, so dass  ν=τ1×τ2  (siehe Bemerkung bemerkung:8-9). Für  f  gilt eine Divergenzgleichung, denn es ist
[eq:8-stokes]
div M (a ×ν) = ( rot a) •ν.
Ist eq:8-stokes erfüllt, so folgt mit satz:8-5
 
∫
Ω
 rot   a •νdH2
=
 
∫
Ω
 div M (a ×ν) dH2
=
 
 
∫
∂M Ω
 (a ×ν) •νΩ dH1
=
 
 
∫
∂M Ω
 a •(ν×νΩ) dH1
=
 
 
∫
∂M Ω
 a •τdH1,
denn für  x∈∂M Ω  ist  τ(x)=ν(x) ×νΩ(x)  äquivalent zu  τ(x)∈Tx(M)  mit  νΩ(x)×τ(x) = ν(x) .

Um Gleichung eq:8-stokes zu beweisen, wähle man lokal stetig differenzierbare Tangentialfelder  τ1 ,  τ2 , so dass  {τ1(x),τ2(x)}  Orthonormalbasis von  Tx(M)  ist mit  τ1(x) ×τ2(x) = ν(x)  (siehe Bemerkung bemerkung:8-9). Dann gilt:

div M (a ×ν)
=
2
∑
k=1
 τk •
 

∂τk (a ×ν)
=(∂τka)×ν+ a×∂τkν
=
 

2
∑
k=1
 (∂τk a) •(ν×τk)
=(∂τ1 a)•τ2 - (∂τ2 a)•τ1
 +
2
∑
k=1
 a •((∂τkν) ×τk),
wobei nach der Bemerkung im Satz
(∂τ1 a)•τ2 - (∂τ2 a)•τ1 = ( rot a) •ν.
Nun gelten folgende Identitäten:
ν•∂τk ν
=
∂τk (
|ν|2
2
 
 ) = 0 für k=1,2 ,
τl •∂τk ν
=
∂τk


(τl •ν)
=0
 - ν•∂τkτl für k,l=1,2 .
Also folgt
∂τkν=
 
∑
l
 (∂τkν)•τl  τl = -
 
∑
l
 ν•∂τkτl  τl ,
und somit
 
∑
k
 (∂τk ν) ×τk
=
-
 
∑
k,l
 ν•(∂τk τl) ·τl ×τk
=
ν•(∂τ1 τ2 - ∂τ2 τ1)·τ1 ×τ2
=
0
nach der Symmetrieaussage in sect:8-6-(2).

Der Allgemeine Satz von STOKES wird analog auf den GAUSS'schen Satz zurückgeführt (siehe sect:9-27 im Anhang). Ist speziell  M⊂R2 ×{0} , so erhalten wird die Formel in Kapitel chap:PartialIntegration wieder zurück (siehe auch die Formel vor dem CAUCHY'schen Integralsatz).

Bemerkung    [bemerkung:8-9]
Für eine  m -dimensionale  C1 -Fläche lassen sich lokal stetige Orthonormalbasen  x  |→ {τ1 (x), ..., τm (x) }  konstruieren mit Hilfe des SCHMIDT'schen Orthogonalisierungsverfahrens:

Ist  γ  eine lokale Parametrisierung,  x=γ(y) , so definiere  τk(x)  induktiv für  k=1,...,m  durch

τ̃k(x)
:=
∂kγ(y)-
 
∑
1≦l<k
 ∂lγ(y)•τl(x)  τl(x),
τk(x)
:=
τ̃k(x)
 
|τ̃k(x)|
 
 .
Ist  M  eine  C2 -Fläche, so sind  τk∘γ  stetig differenzierbar, also nach Definition definition:8-1 die Vektorfelder  τk  auf dem lokalen Flächenstück stetig differenzierbar.
Beachte: Im Allgemeinen lassen sich  τk  nicht global auf der Fläche definieren (siehe auch den Orientierungsbegriff im Anhang, sect:9-16).
Version 1.7
H.W. Alt - 02.01.2007

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